Расширенная матрица
a11
Am×n = a21
...
am1
a |
... |
a |
|
b |
|
||
|
12 |
|
|
1n |
|
1 |
|
a22 |
... |
a2n |
b2 |
|
|||
... |
... |
.... |
|
B = |
|
||
|
... |
|
|||||
a |
m2 |
... |
a |
|
|
b |
|
|
|
|
mn |
m |
|
||
|
|
a |
a |
... |
a |
|
b |
|
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
11 |
|
12 |
... |
a |
1n |
|
1 |
|
||
А |
= |
a |
21 |
a |
22 |
2n |
|
b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
В |
... |
... |
... .... |
|
... |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
... |
a |
|
|
b |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
m1 |
|
m2 |
|
|
mn |
|
m |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.
Теорема. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Теорема. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
Система ЛАУ
Совместная |
Несовместная |
r(A)=r(A|B)=r |
r(A)≠r(A|B) |
Определенная |
Неопределенная |
r=n |
r<n |
Пример. Решить систему |
|
x |
+ x |
|
+ x |
=3 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
2x1 − x2 + x3 = 2 |
|||||
|
x +4x |
2 |
+2x |
|
=5 |
||
|
|
1 |
|
3 |
|
||
Решение
|
1 |
1 |
1 |
|
3 |
|
1 1 |
1 |
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
−1 1 |
|
2 |
|
~ |
|
0 |
−3 |
−1 |
|
−4 |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
4 |
2 |
|
5 |
|
|
|
0 |
3 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
1 |
1 |
|
3 |
|
|
|
||||||
|
0 |
3 |
1 |
|
4 |
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
|
−2 |
|
|
|
|
||||
r( A) ≠ r( A | B) система несовместная
Пример. Решить систему |
x |
− x |
|
+3x |
= −5 |
|||
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
3x1 − x2 − x3 =1 |
||||||
|
2x |
|
+ x |
2 |
−9x |
=14 |
||
|
|
1 |
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
||
1 −1 |
3 |
|
−5 |
|
|
1 |
−1 3 |
|
−5 |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
3 |
−1 |
−1 |
|
1 |
|
~ |
|
0 2 |
−10 |
|
16 |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
1 −9 |
|
14 |
|
|
|
0 |
3 |
−15 |
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 −1 3 |
|
−5 |
|
|
1 −1 3 |
|
−5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
1 |
−5 |
|
8 |
|
~ |
|
0 |
1 |
−5 |
|
8 |
|
r( A) = r( A | B) = 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
1 |
−5 |
|
8 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
совместная система
n =3 −число неизвестных
r < n система неопределенная
1 |
−1 |
3 |
|
−5 |
x |
− x |
|
+ |
3x = −5 |
|||
|
|
|||||||||||
|
0 1 |
−5 |
|
8 |
|
|
||||||
|
|
|
~ |
1 |
|
2 |
|
3 |
||||
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
x2 −5x3 =8 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
− x |
|
+3x = −5 |
x |
−5c −8 +3c = −5 |
x |
= |
2c +3 |
||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
x2 =5c +8 |
~ |
|
x2 =5c +8 |
~ x2 =5c +8 |
||||||
|
|
|
x |
|
= c |
|
|
x = c |
|
|
x |
= c |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
Пример. Решить систему |
|
3x |
+4x |
|
+2x |
|
= |
8 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
||
|
2x1 −4x2 −3x3 = −1 |
|||||||
|
|
x |
+5x |
2 |
+ x |
= 0 |
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 4 |
2 |
|
8 − II |
|
1 |
8 |
5 |
|
9 |
|
1 |
8 |
5 |
|
9 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
−4 |
−3 |
|
|
~ |
|
2 −4 |
−3 |
|
|
−2I ~ |
|
0 |
−20 |
−13 |
|
−19 |
|
* (−3) ~ |
|
|
|
−1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
5 |
1 |
|
0 |
− I |
|
0 |
−3 |
−4 |
|
−9 |
* (−20) |
||||
1 8 5 |
|
9 |
|
|
1 |
8 |
5 |
9 |
|
1 8 |
5 |
|
9 |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
0 |
60 |
39 |
|
57 |
|
/ 3 ~ |
|
0 |
20 |
13 |
19 |
|
~ |
|
0 |
20 13 |
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
3 |
|
|
0 |
60 |
80 |
|
180 |
|
− II |
|
0 |
0 |
41123 |
/ 41 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
r( A) = r( A | B) =3 = n
система совместная и определенная
1 |
8 |
5 |
|
9 |
−5III |
1 |
8 |
0 |
|
−6 |
|
|
|||
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
20 13 |
|
19 |
|
−13III ~ |
|
0 20 |
0 |
|
−20 |
|
/ 20 ~ |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 0 |
1 |
|
3 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 8 |
0 |
|
−6 −8II |
|
1 0 0 |
|
2 |
|
x1 |
= 2 |
||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
−1 |
|
~ |
|
|
−1 |
~ x2 |
= −1 |
||||
|
0 |
0 1 |
|
3 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
3 |
|
x |
=3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||