Примеры ступенчатых матриц
3 A1 = 00
80 A3 = 000
3 1
0 4
0 0
3 7
3 6
0 4
0 0
0 0
3 2
2 1
0 5
1
2
1
0
0
|
−2 7 |
8 |
2 |
−3 |
|||
A2 |
|
0 |
1 |
7 |
−2 5 |
|
|
= |
|
||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|||||
Теорема о ступенчатой матрице:
1)Каждая матрица элементарными преобразованиями строк приводится к ступенчатой матрице.
2)Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых
строк.
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
3 |
3 |
1 |
3 |
2 |
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
0 |
0 |
4 |
2 |
1 |
|
= 2 |
rang |
0 |
rang |
|
||||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
||||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7 |
1 |
|
|
3 |
6 |
2 |
|
|
|
|
|||
0 |
4 |
1 |
|
=3 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
Пример. Определить ранг матрицы
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
||
2 3 5 |
|
1 |
−6 1 |
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
||||||||
|
3 7 8 |
|
|
3 |
7 8 |
|
−3I |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
~ |
|||||||
|
1 |
−6 1 |
I ↔ III ~ |
|
2 |
3 5 |
|
−2I |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
7 |
−2 15 |
|
−7I |
|
|
|
7 |
−2 15 |
|
|
|
|
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
23
17
−6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
5 |
|
|
1 |
|
5 |
|||
15 |
3 |
13 |
||
|
|
|
|
1 |
40 |
8 |
|
|
|
|
8 |
|||
3 |
5 |
|
7 |
8 |
|
|
||
−6 |
1 |
|
|
||
−2 |
15 |
|
|
~
1 |
−6 |
1 |
|
|
1 |
−6 1 |
|
|||
|
0 |
5 |
|
|
|
0 |
5 |
1 |
|
|
|
1 |
− II ~ |
|
|
r = 2 |
|||||
|
0 |
5 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
5 |
|
− II |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
Пример. Определить ранг матрицы |
|
3 |
−1 3 |
2 |
5 |
|
||
5 |
−3 |
2 |
|
3 |
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−3 |
−5 |
0 |
−7 |
|
|
|
|
|
||||||
Решение |
|
7 |
−5 |
1 |
|
4 |
1 |
|
|
|
|
||||||
|
3 |
−1 |
3 |
2 |
5 |
|
|
5 |
−3 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|||||
|
1 |
−3 |
−5 |
0 |
−7 |
I ↔ III ~ |
|
|
|||||
|
7 |
−5 |
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
1 |
−3 |
−5 |
0 |
−7 |
|
|
|
|
|
5 |
−3 |
2 |
3 |
4 |
|
−5I |
|
|
|
|
~ |
|||||||
|
3 |
−1 |
3 |
2 |
5 |
|
−3I |
||
|
|||||||||
|
|
|
|||||||
|
7 |
−5 |
1 |
4 |
1 |
|
−7I |
|
|
|
|
|
1 |
−3 −5 0 |
−7 |
|
|
|
1 |
−3 |
−5 0 |
−7 |
|
|
|
||||||
|
0 |
12 |
27 |
3 |
39 |
|
/ 3 |
|
|
0 |
4 |
|
9 |
1 |
13 |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
|||||||||||
|
0 |
8 18 2 |
26 |
|
/ 2 |
|
0 |
4 |
|
9 |
1 |
13 |
|
− II |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
16 |
36 |
4 |
50 |
|
/ 2 |
|
|
0 |
8 |
18 2 |
25 |
|
−2II |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
−3 |
−5 0 |
−7 |
1 |
−3 |
−5 0 |
−7 |
||||||
|
0 |
4 |
9 |
1 |
13 |
|
|
0 |
4 |
9 |
1 |
13 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
III ↔ IV ~ |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
−1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
−1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
r =3