6.5.3. Возрастание и убывание функции
Функция
называется возрастающей
в интервале
,
если для любых двух точек
и
из указанного интервала, удовлетворяющих
неравенству
,
выполняется неравенство
.
Ф
ункция
называется убывающей
в интервале
,
если для любых точек
и
из указанного интервала, удовлетворяющих
неравенству
,
выполняется неравенство
.
Признаки возрастания и убывания функции.
1)
Если
для любого
,
то функция
возрастает на
.
2)
Если
для любого
,
то функция
убывает на
.
6.5.4. Экстремумы функции
● Дифференцируемая
функция
имеет минимум
в точке
если существует такая окрестность точки
,
что для всех точек
из этой окрестности выполняется
неравенство
(рис. 30, а).
Функция
имеет максимум
в точке
если существует такая окрестность точки
,
что для всех точек
из этой окрестности выполняется
неравенство
(рис. 30, б).
Рис. 30, а Рис. 30, б
● Рассмотрим
функцию
,
дифференцируемую в некоторой области.
М
инимумом
функции
называется такое ее значение
,
которое меньше всех других значений,
принимаемых в точках
,
достаточно близких к точке
и отличных от нее (рис. 31, а),
т. е.
.
М
аксимумом
функции
называется такое ее значение
,
которое больше всех других значений,
принимаемых в точках
,
достаточно близких к точке
и отличных от нее (рис. 31, б),
т. е.
.
Точки, в которых функция имеет минимум (максимум), называются точками минимума (максимума). Максимум и минимум называются экстремумами функции.
Признаки экстремума функции
|
|
1. Необходимый признак экстремума |
|
Если
дифференцируемая функция
в точке
имеет экстремум, то производная
функции в этой точке равна нулю
|
Если
дифференцируемая функция
в точке
– критическая точка функции |
2. Достаточный признак экстремума |
|
Если в точке производная функции равна нулю и при переходе слева направо через эту точку меняет знак, то является точкой экстремума, причем:
1)
– точка максимума, если производная
меняет знак с "+" на "–"
2)
– точка минимума, если производная
меняет знак с "–" на "+"
2* Достаточное условие экстремума можно выразить с помощью второй производной. Если в точке первая производная функции равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то яв-ляется точкой экстремума, причем:
1)
– точка минимума, если
2)
– точка максимума, если
|
Пусть
функция
имеет непрерывные частные производные
до второго порядка включительно
в
некоторой окрестности точки
.
Если ее первые частные производные
в точке
Если
|
Точка
называется критической точкой функции
имеет экстремум, то ее первые частные
производные равны нулю, т. е. если
– точка экстремума функции
,
то
.
.
равны нулю, а вторые производные
принимают значения
то при
в точке
минимум, а при
в точке
максимум функции
.
в точке
,
то
не является точкой экстремума. Если
в точке
,
то вопрос об экстремуме функции в
этой точке не решен