6.6. Наибольшее и наименьшее значения функции

Теорема. Непрерывная на отрезке функция достигает наибольшего и наименьшего значений либо на концах отрезка, либо во внутренних относительно этого отрезка точках экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке обозначается соответственно и . Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, необходимо вычислить значения экстремумов на этом отрезке и значения функции на концах отрезка. Из полученных чисел выбрать самое большое и самое маленькое.

Теорема. Непрерывная в замкнутой области D функция достигает наибольшего и наименьшего значений либо на границе области D, либо во внутренних относительно этой области точках экстремума, при этом наибольшее значение обо-значается , а наименьшее – .

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, необходимо найти все экстремумы в этой области и определить наибольшее и наименьшее значения данной функции на границе. Из полученных таким образом чисел выбрать самое большое и самое маленькое.

Дифференциал первого порядка

Полный дифференциал первого порядка

Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал независимой переменной: .

Если приращение независимой переменной мало по абсолютной величине, то дифференциал функции и приращение функции , где

,

приближенно равны между собой, значит, .

Замечание. Приращение независимой переменной и ее дифферен-циал равны между собой, т. е. .

В случае непрерывности частных производных функция имеет полный дифференциал:

.

Разность между полным дифференциалом и полным приращением функции

есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с и . Следовательно, или

т. к.

Эта формула позволяет вычислить приближенное значение функции в «новой точке» , если известно ее значение и значение производной в точке , когда приращение аргумента является достаточно малым.

Пример. Вычислить приближенно .

Решение. Выберем в качестве функции и , тогда – достаточно мало.

Далее определим: и . Пользуясь формулой, получим

.

Если известно значение функции и ее частных производных первого порядка в точке , когда приращения аргументов и достаточно малы, то по указанной формуле можно вычислить приближенно значение функции в новой точке .

Пример. Вычислить приближенно 1,02^3,01.

Решение. Рассмотрим функцию . Искомое число можно считать наращенным значением этой функции при . Первоначальное значение функции . Далее определяем и числовые значения этих производных в начальной точке: Окончательно получим: .

1.

2. где

3.

4. где

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.