Формула Ньютона-Лейбница
,
где
● При исследовании несобственных интегралов от разрывной функции на сходимость можно применять формулу Ньютона-Лейбница только тогда, когда первообразная функция от в особой точке непрерывна.
Примеры.
1)
– особая точка функции
.
Первообразная
– непрерывна в особой точке
можно применять формулу Ньютона-Лейбница
данный несобственный интеграл сходится.
2)
– всюду непрерывна
– сходится.
7.4. Двойной интеграл
Двойной
интеграл от непрерывной функции
обладает всеми свойствами определенного
интеграла. Вычисление двойного
интеграла сводится к вычислению двух
определенных интегралов.
1)
Область интегрирования
Рис. 33
При
вычислении внутреннего интеграла
величину х
считают постоянной, а любая прямая
|
2)
Область интегрирования
(рис. 34)
ограничена снизу и сверху прямыми
у
d
В
D
Р
Q
х=φ1(у) линия
входа
х=φ2(у) линия
выхода
С
D
А
С
0
х Рис. 34
При
вычислении внутреннего интеграла
величину у
считают постоянной, а любая прямая
,
параллельная оси
,
пересекает область D
не более чем в двух точках: на «линии
входа»
и на «линии выхода»
.
Пределы внешнего интеграла определяются
проецированием области D
на ось
:
в области D
переменная у
изменяется на отрезке
|
Если
нижняя или верхняя границы области
состоит из нескольких участков с
различными уравнениями, то область
D
следует разбить прямыми, параллельными
оси
,
на части:
Рис. 35 |
Если левая или правая граница будет состоять из нескольких участков с различными уравнениями, то область D следует разбить прямыми, параллельными оси , на части: (рис. 36).
Рис. 36 |
причем
|
причем
|
(рис. 33)
ограничена слева и справа прямыми
и
,
а снизу и сверху непрерывными кривыми
и
,
причем
.
,
параллельная оси
,
пересекает область D
не более чем в двух точках: на «линии
входа»
и на «линии выхода»
.
Пределы внешнего интеграла определяются
проецированием области D
на ось
:
в области D
переменная х
изменяется на отрезке
.
и
,
а слева и справа
непрерывными
кривыми
и
,
причем
.
(рис. 35).
,
;
,
;
П
ример
1.3. Изменить
порядок интегрирования
Решение.
По данным пределам интегрирования
опишем область D
(рис. 37) системой неравенств
.
Построим область интегрирования D
и изменим порядок интегрирования:
.
Следовательно,
