7.7. Криволинейный интеграл
7.7.1. Криволинейный интеграл первого рода
Выражение
вида
,
где
– линия интегрирования,
– точка на плоскости или в пространстве,
называется криволинейным интегралом
первого рода (по длине дуги).
● Величина
криволинейного интеграла не зависит
от выбора
направления,
т. е.
.
●
С
геометрической точки зрения криволинейный
интеграл есть площадь цилиндрической
поверхности, у которой образующая
параллельна оси
,
а направляющей является дуга
(рис. 42), т. е.
.
● Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла. При этом рассматриваются следующие случаи.
1) Кривая интегрирования задана параметрическими уравнениями:
Точки
А
и В
задаются так:
Если
,
,
– непрерывно дифференцируемые функции,
то
,
т.
к. при параметрическом задании кривой
интегрирования
можно записать так:
.
Частный
случай. Если
дуга
кривой интегрирования лежит в плоскости
то
.
В этом случае
2)
Кривая интегрирования
задана явно:
где
– непрерывно дифференцируемая функция
:
3)
Кривая интегрирования
задана на плоскости в полярных координатах:
,
где
и
– непрерывно дифференцируемая функция
.
7.7.2. Криволинейный интеграл второго рода
Выражение
вида
называется криволинейным второго рода
(интегралом по координатам), где
и
– непрерывные функции,
– кусочно-гладкая плоская кривая.
● Если изменить направление движения, то интеграл меняет знак на противоположный:
.
● Для вычисления криволинейного интеграла второго рода пользуются одной из следующих формул.
1)
Кривая АВ
задана параметрически уравнениями:
;
.
Точки А
и В
задаются так:
;
.
Если
и
– непрерывно дифференцируемые функции,
то
В частности, если кривая АВ задана в трехмерном пространстве, то аналогично случаю на плоскости получим:
2)
Кривая АВ
задана на плоскости явно, т. е.
,
где
.
При этом,
.