7.2. Определенный интеграл Свойства определенного интеграла

1.

2.

3.

4. (рис. 32, а)

5. (рис. 32, б).

6. Если на отрезке , то .

Если на отрезке , то .

7. Если выполняется условие то (рис. 32, в).

8. Теорема о среднем

Если – непрерывна на , то существует на этом отрезке точка такая, что .

Геометрически это означает, что существует такая точка , что прямоугольник с основанием и высотой равновелик криволинейной трапеции (рис. 32, г).

0 а b х

х

у = f(х)

а б

в г

Рис. 32

7.3. Несобственные интегралы

Определение определенного интеграла было дано в предположении, что промежуток интегрирования конечен и функция непрерывна на нем.

Мы рассмотрим два основных типа несобственных интегралов:

1. Интегралы с бесконечными пределами.

2. Интегралы от разрывных функций.

7.3.1. Интегралы с бесконечными пределами

Подинтегральная функция непрерывна на промежутках , или на всей числовой оси .

По определению .

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если же предел не существует, то несобственный интеграл не существует и называется расходящимся.

Примеры.

1. . Этот предел называется несобственным интегралом функции на бесконечном промежутке , а сам несобственный интеграл называется сходящимся.

2. несобственный интеграл функции на промежутке равен бесконечности и он называется расходящимся. Аналогично определяются несобственные интегралы для непрерывной функции, заданной на промежутке или :

; .

Замечания. 1) , где С – любая точка числовой оси . Этот несобственный интеграл является сходящимся, если оба слагаемых справа интеграла сходятся.

2) Для несобственных интегралов сохраняются свойства определенного интеграла:

● интеграл от четной функции на интервале можно свести к вычислению интеграла на интервале , а интеграл от нечетной функции на равен нулю. Поэтому, например, .

7.3.2. Интегралы от разрывных функций

Пусть область задания функции – промежуток или , но в точке b предел , при этом называется особой точкой. И в том и в другом случаях, по определению, . Если этот предел существует, то интеграл называется сходящимся несобственным интегралом. В случае, если , то обозначают: и этот интеграл называют расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл от функции, заданной на промежутках или , но при этом .

Наконец, если функция задана на всем отрезке за исключением его внутренней точки , т. е. функция определена на промежутках и или , то несобственный интеграл определяется так:

Пример. – особая точка подинтегральной функции =

– сходится.