7.5. Двойной интеграл в полярной системе координат

Для того чтобы двойной интеграл в декартовых координатах преобразовать в двойной интеграл в полярных координатах, нужно в подинтегральной функции заменить , , а элемент площади заменить его выражением в полярных координатах .

● Правило расстановки пределов интегрирования (рис. 38)

1. Внутренний интеграл всегда за-висит от переменной ρ, считая φ постоянной величиной.

2. Чтобы расставить пределы внут-реннего интеграла, надо провести лучи,

исходящие из полюса. Точки входа и точки выхода лучей в область D, заданную системой неравенств: определяют соответствен-но нижний и верхний пределы интегрирования.

3. Пределы внешнего интеграла определяются уравнениями лучей и , считая против хода часовой стрелки (в положительном направлении).

4. Если полюс содержится внутри области D, то нижний предел внутреннего интеграла следует положить . Итак,

.

Замечания.

1. Пределы интегрирования будут постоянными, если область интегрирования представляет собой часть круга.

2. К полярным координатам удобно переходить в том случае, когда область интегрирования ограничена дугами окружностей или линиями, заданными в полярных координатах.

Пример. Вычислить где

Решение. Перейдем к полярным координатам:

По условию задачи следовательно, . Итак,

7.6. Тройной интеграл

По аналогии с двойным интегралом вводится понятие тройного интеграла по ограниченной замкнутой пространственной области V, если в ней определена непрерывная функция , который обозначается так: . Предположим, что область V является стандартной в направлении оси , т. е. удовлетворяющей следующим условиям:

1) всякая прямая, параллельная оси и имеющая с областью V общие точки, пересекает границу области только в двух точках;

2

Рис. 39

) проекция D области V на плоскость представляет стандартную область в направлении оси или оси .

Если при этом область V ограничена сверху поверхностью , а снизу – поверхностью , то тройной интеграл в декартовых координатах можно вычислить следующим образом:

.

Если, например, область D является стандартной в направлении оси и определяется неравенствами ; , то

.

Итак, .

Часто удобно вычисление тройного интеграла провести в цилиндрических или сферических координатах.

Ц илиндрические координаты:

,

,

, где

При этом: .

Итак, тройной интеграл в цилиндрических координатах записывается следующим образом:

.

Пример 6.2. Вычислить

Рис. 40

где область V ограничена плоскостями цилиндром и расположена в первом октанте (рис. 40), т. е.

Решение. Вычислим в цилиндрической системе координат

С ферические координаты:

,

,

,

где

При этом: .

Тройной интеграл в сферических координатах записывается так:

Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирования V-шap с центром в начале координат или шаровое кольцо.

Пример 6.3. Вычислить

где V – шар, который описывается неравенством (рис. 41).

Р

Рис. 41

ешение. Перейдем к сферическим координатам. При этом подынтегральная функция примет вид . Следовательно