matanaliz

плоскости, примыкающая к оси Ox и заключенная между прямыми y = §x вместе с этими прямыми, исключая начало координат.

7.0. 8. 2. 9. e3.

10.не существует. 11. не существует. 12. 0. 13. 0.

104 Лекция 7. Непрерывность функций и производные

между значениями функции, когда одному аргументу функции дано приращение

¢xk u = f(x1, ... , xk¡1, xk + ¢xk, xk+1, ... , xm) ¡ f(x1, ... , xm):

Введем теперь понятие непрерывности функции u =

= f(x1, ... , xm) по одной из переменных.

Определение 7.4. Функция непрерывна u = f(x1, ... , xm) в точке M(x1 ... xm) по переменной xk, если частное прира-

щение ¢xk u этой функции в точке M стремится к нулю при ¢xk ! 0, ò:å: lim jf(x1, ... , xk¡1, xk + ¢xk, xk+1, ... ,

¢xx !0

¡ f(x1, ... , xm)j = 0:

Можно дать и другие определения аналогично определениям непрерывности функции в точке по всем переменным, что предлагается сделать самостоятельно. Следует отметить, что из непрерывности функции по каждой из переменных не следует непрерывность функции в точке по всем переменным. В качестве примера можно исследовать на непрерывность функцию, приведенную в первом примере раздела, когда повторные пределы равны частному значению в точке x = 0, y = 0, однако функция

не является непрерывной в этой точке так как при стремлении (x, y) к нулю по прямой y = x предел не равен частному значе-

нию функции в этой точке.

7.1.1. Основные свойства непрерывных функций. Теорема 7.2. (о непрерывности сложной функции) Åñëè ôóíê- öèè yi = 'i(M), M 2 G ½ Em, i = 1, ... , k непрерывны в точке M = A, а функция u = f(Y ), Y 2 Q ½ Ek непрерывна в точке B

с координатами (b1 ... bk), ãäå bi = 'i(A), то сложная функция

u= f('1((M), ... , 'k(M)) непрерывна в точке A:

Äо к а з а т е л ь с т в о. В силу непрерывности функции

u= f(Y ) в точке B, äëÿ 8" > 0, 9´ > 0 такие, что из ½(Y , B) < ´

следует jf(Y ) ¡ f(B)j < ". А из непрерывности функций 'i(M)

в точке A следует, что для 8´i, 9± > 0 такие, что из неравенств ½(M, A) < ± следует j'i(M) ¡ 'i(A)j < ´i. Если взять ´i = p´

k ,

то из последнего неравенства следует ½(Y , B) < ´, откуда имеем

jf('i(M), ... , 'k(M)) ¡ f(A)j < ":¤

Теорема 7.3. Пусть функции f(M) è q(M) непрерывны в точке

A. Тогда функции f(M) § q(M), f(M) ¢ q(M) è f(M)(q(A) =6 0)

q(M)

непрерывны в точке A:

7.2. Производные и дифференциал функции нескольких переменных 105

Теорема 7.4. (1-я теорема Вейерштрасса). Если функция f(M) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой об-

ласти G ½ Em, то она ограничена, т.е. существуют конечные

sup f(M) è inf f(M):

M2G M2G

Теорема 7.5. (2-я теорема Вейерштрасса). Если функция f(M) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой

области G ½ Rm, то она достигает в этой области своих

точных верхней и нижней граней.

Приведенные утверждения доказываются точно так же, как аналогичные утверждения для функции одной переменной.

Теорема 7.6. Если функция f(M) непрерывна в точке A 2 Em è åñëè f(A) =6 0, то существует ±-окрестность точки

A, в которой функция f(M) имеет тот же знак, что и в точке A. Справедливость этого утверждения непосредственно следует из определения непрерывности в точке A, если величину " взять в виде " 6 jf(A)j :

Теорема 7.7. Если функция f(M) непрерывна в связанной области G ½ Em и принимает в точках b, a 2 G значения B =

= f(a), A = f(b), то для любого числа C, лежащего между A

èB найдется точка c 2 G, в которой f(c) = C:

Äо к а з а т е л ь с т в о. Пусть xi = 'i(t) i = 1, ... , m, ãäå xi - координаты точки M, уравнение непрерывной кривой L, содер-

жащей точки A è B целиком лежащая в области G. Пусть ® è ¯

значение аргумента t такие, что 'i(®) è 'i(¯) являются координатами точек A è B, тогда функция f('1(t), ... , 'm(t)) является сложной функцией одного аргумента t 2 [®, ¯]. В силу непре-

рывности функций f(M) è 'i(t), функция f('1(t), ... , 'm(t)) является непрерывной на сегменте [®, ¯], но тогда в соответ-

ствии со второй теоремой Больцано-Коши, для любого числа C, лежащего между точками A è B, существует число ° 2 [®, ¯, ]

такое, что f('1(°), ... , 'm(°)) = C. Если взять '1(°), ... , 'm(°) координатами точки ñ 2 G, то получаем утверждение теоремы.¤

7.2. Производные и дифференциал функции нескольких переменных

Пусть точка M(x1, ... , xm) 2 G ½ Em

u = f(M). Рассмотрим в произвольной внутренней точки M 2 G

отношение частного произведения ¢xn u к соответствующему приращению ¢xn .

106 Лекция 7. Непрерывность функций и производные

Рассмотрим полное приращение функции f(M), M 2 G ½ Em

¢u = f(x1 + ¢x1, ... , xm + ¢xm) ¡ f(x1, ... , xm):

Определение 7.6. Функция f(x1, ... , xm) называется диффе-

ренцируемой в точке M(x1, ... , xm), если ее полное приращение ¢u можно представить в виде ¢u = Pm ±i¢xi + ®i¢xi, ãäå ±i

i=1

некоторые постоянные, зависящие от xi; ®i бесконечно

малые при ¢xi ! 0.

Теорема 7.8. Если функция u = f(M), M 2 G ½ Em, äèô-

Однако эта функция не дифференцируема в точке (0,0) так как она в этой точке имеет разрыв.

Следующее утверждение обеспечивает достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.

Теорема 7.10. Если функция u = f(x1, ... , xm) имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки M0(»1, ... , »m), причем все эти частные производные непрерывны в этой точке, то функция дифференцируема.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем эту теорему для функции двух переменных u = f(x, y). Для большего количества перемен-

ных доказательство аналогично. Предположим, что в некоторой окрестности точки M0(x0, y0) существуют непрерывные произ-

водные fx0 , fy0 . Полное приращение в этой точке запишется в виде

¢u = f(x0 + ¢x, y0 + ¢y) ¡ f(x0, y0) = [f(x0 + ¢x, y0 + ¢y)¡ ¡f(x0, y0 + ¢y)] + [f(x0, y0 + ¢y) ¡ f(x0, y0)]:

Выражения в квадратных скобках являются частными приращениями по одной переменной, что позволяет применить к ним формулу Лагранжа

¢xu = f(x0 + ¢x, y0 + ¢y) ¡ f(x0, y0 + ¢y) = = fx0 (x0 + µ¢x, y0 + ¢y)¢x,

¢yu = f(x0, y0 + ¢y) ¡ f(x0, y0) = fy0 (x0, y0 + ´¢y)¢y

ãäå µ 2 (0; 1), ´ 2 (0; 1). Принимая во внимание непрерывность производных в точке M0(x0, y0), формулы для частных прираще-

108 Лекция 7. Непрерывность функций и производные

ний можно записать в виде

емой в точке M(x1, ¢¢¢ , xm) функции u = f(x1, ¢¢¢ , xm) называется главная линейная относительно приращений аргументов часть полногоm приращения функции в точке

M(x1, ¢¢¢ , xm):du = P Ai¢xi.

i=1

Точно также, как для функций одной переменной, под дифференциалом dxi переменной xi будем понимать любое число, в

качестве которого будем брать ¢xi. Тогда формула для диффе- ренциала примет вид

du = Xm fx0 i (x1, ¢¢¢ , xm)dxi:

i=1

Пример 7.3. Вычислить дифференциал функции u = x3yz2

du = 3x2yz2dx + x3z2dy + 2x3yzdz

Дифференциал часто используют для вычисления приближенного значения функции в некоторой точке, заменяю приращение функции дифференциалом ¢u ¼ du. Тогда

f(x1 + ¢x1, ¢¢¢ , xm + ¢xm) = f(x1, ¢¢¢ , xm) + df(x1, ¢¢¢ , xm):

7.2.1. Производная сложной функции. Пусть заданы дифференцируемые функции u = f(x1, ¢¢¢ , xm), è xi =

7.2. Производные и дифференциал функции нескольких переменных 109

Разделим левую и правую части этого равенства на ¢tj, è вычислим пределы при ¢tj ! 0

В силу дифференцируемости функций 'i(t1, ¢¢¢ , tk) îíè

Пример 7.4. u = tx2 + y + t + z3t, x = sint, y = cos t, z = t2 .

Требуется вычислить производную по переменной t. В данном

Вычисляем производные и подставляем в приведенную формулу

dudt = 2txcos t ¡ sint + 6z2t2 + ¡x2 + z3 + 1¢:

Подставим значения x = sint, y = cos t, z = t2:

dudt = tsin2t ¡ sint + 6t6 + ¡sin2t + t6 + 1¢:

7.2.2. Инвариантность формы полного дифференциала. Для функции одной переменной было введено понятие инвариантности формы дифференциала. Исследуем это свойство для функции нескольких переменных. Для простоты возьмем функции двух переменных. Пусть заданы дифференцируемые функции в области определения

Решение: При вычислении производной по переменной x ñ÷è-

таем, что функция степенная, а по переменным y è z функцию

считаем показательной.

@u@x = zyxzy¡1, @u@y = zxzylnx, @u@z = yxzylnx:

3. u = x2 + y2 + zx, x = sin t, y = cost, z = 2t: Требуется вычис-

du=dt:

Решение: Имеем сложную функцию u = f(x, y, z) òðåõ ïå-

ременных. При этом каждый из аргументов является функцией переменной t:

Запишем формулу для вычисления искомой производной

dudt = (2x + z) cost ¡ (2y) sint + (x) 2tln2:

Подставим вместо переменных x, y, z: x = sin t, y = cost, z = 2t.

4.Вычислить дифференциал функции z = arctg ¡xy2¢: Решение: Пользуемся формулой

dz = @x@z dx + @y@z dy: