Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Астраханский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3323 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

222Лекция 15. Оснвные свойства определенного интеграла и его приложение

Тогда

t4 cos2 t + t4 sin2 t dt

0 t2dt

= t33 ¯

R p

(åä.äë.).

Пример 15.9. Вычислить длину дуги кривой, заданной уðàâ-

нением в полярных координатах r = 6 sin ', 0 6

' 6

¼3 .

Решение.

Длину

äóãè

находим

ïî

формуле

l =

R p

= 6cos ', (r )

r2 + (r0)2

d'.

36cos2

Найдем

Èòàê,

l =

6d' = 6' ¯

= 2¼(åä.äë.).

36 sin2 ' + 36 cos2 ' d' =

R p

Пример 15.10. Вычислить объем тела, ограниченного¯

ïî-

верхностями

= 1, z =7, z =0.

196

Решение: Объем тела находим по формуле V = zR1 s(z) dz, s(z)

площадь сечения эллипсоида плоскостью перпендикулярной

îñè oz ïðè z =const.

В сечении получится эллипс, который определяется уравне-

ниями

(

z = const.

= 1 ¡

196

Площадь

эллипса

равна

S = ¼a ¢ b. Перепишем

первое

óðàâ-

нение

òàê,

чтобы

определить

полуоси

эллипса.

Разделим

îáå

196x2

части уравнения на выражение 1 ¡

, получим

196

16(196 ¡ z2)

196y2

= 1.

9(196 ¡ z2)

Следовательно, a = 4p

¡ z

b = 3p

¡ z

196

2 ,

196

2 .

S = ¼

3¼

196

¡ z

2 .

(

)

¶¯

V =

0 ( ¡ z )dz =

z ¡

3¼

196 7

(ед. объема)

196

¡ 3

15.8. Методические указания по решению задач.

223

Пример 15.11. Вычислить объем тела, образованного враще-

нием вокруг оси Оy фигуры, ограниченной графиками функций

y = (x 1)2, x =0, x =2, y =0.

Решение: Объем тела находим по

формуле

V = ¼ Za x2dy:

Из уравнения y= (x 1)2 выразим x.

x ¡ 1 = §p

, x1 = 1 + p

, x2 = 1 ¡ p

Ðèñ. 15.10.

V = ¼ Z1

x12(y) ¡ x22(y) dy = ¼ Z1

(1 + p

)2 ¡ (1 ¡ p

)2 dy =

0 ¡

0 =

= ¼ 0 py dy = 3 py

4 1

8¼ 3

8¼ (ед. объема)

224Лекция 15. Оснвные свойства определенного интеграла и его приложение

15.9. Примеры для самостоятельного решения.

Вычисление определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница

¼/2

¡1 4x2 ¡ 9.

Re3

x2dx

(ex ¡ 1)4exdx.

x2 + 1.

(11 + 5x)3 .

¡2

(x2 + 1)2 .

8. R1 xq1 ¡ ln2 x .

9. R1 xp1 + ln x .

xdx

R0¼

1 R2

10. 2

e1/xdx

2x4 ¡ 5x2 + 3

dx.

x2 .

11.

x2 + 4x + 5.

12.

x2 1

13.

¡eR

x ln xdx.

14. x sin xdx.

xe¡xdx..

16. 0

ln(x + 1)dx.

17.

1 ln xdx.

18.

+ 1.

¼/

19. R4

¡ 1dx.

20. R0

21.

sin x cos2 xdx.

ex + e¡x

Найти площади фигур, ограниченных графиками функций.

22. y = 4x ¡ x2, y = 0.			23. y = ln x, y = 0, x = e.
24. y3 = x, y = 1,		x = 8.	25.	y = tgx, y = 0, x =
			= ¼/3.
26. y = x3, y = 8,		x = 0.	27. y = 2x ¡ x2, y = ¡x.
	x = a cos3 t
28.	½ y = b sin3 t .		êîé29.	Первойциклоидыар-
				x = a(t	sin t)
			y = 0,½ y = a(1		¡¡ cos t)
30.	x = a cos t
30.	½ y = b sin t .		31.	½ = a sin 2'.
32.	½ = a cos 5'.		33.	½ = 2a(2 + cos ').
34. ½ = 3 + cos 4', ½ = 2 ¡			35.	½ = a sin 3'.
¡ cos 4'.:

15.9. Примеры для самостоятельного решения.

225

	Найти длины дуг кривых, заданными уравнениями:
	36.		,						p		6 x 6				37.		2		3,		0	6 x 6		4.
	36.		,						p	3					37.		2		3,		0			4.
	6 p			y = ln x												y		= x
	6 p			8	.
	38. y = 2p					x		, 0 6 x 6 1.							39. y = ex, 0 6 x 6 1.
	40. y = arcsin e¡x, 0											6	x	6	41. x = 1y2							1 ln y, 1					6
	6 1.											6		6	6 y 6 e.				4		¡ 2						6

42.		½ y = a sin3 t: .												43.	½ y = a sin5 t .
			x = a cos3 t												x = a cos5 t
44.		½ y = 4 sin4 t: .												45.½ y = 7(1 ¡' cos t) , 2										6				6
			x = 4 cos3 t												x = 7(t ¡ sin t)								¼				t		4¼ .
46.		½ = a(1 + cos ').												47.	½ = a sin3					.
46.		½ = a(1 + cos ').												47.	½ = a sin3				3	.
																			3
48.		½ = ae', 0 6 ' 6 '0.												49.	½ = 6 cos3				',		0	6 ' 6		¼		.
48.		½ = ae', 0 6 ' 6 '0.												49.	½ = 6 cos3				3			6 ' 6			2	.
50.		½ = 2 cos3					'	.						51.	½ = 2(1 ¡ cos ').
50.		½ = 2 cos3					3	.						51.	½ = 2(1 ¡ cos ').

Найти объемы тел, образованных вращением фигур, ограни- ченных линиями вокруг оси Ox:

52. y = sin x,		0 6 x 6 ¼.	53. y = sin2 x, 0 6 x 6 ¼.
54. y2 = x2, y = 0, x = 1.			55. y = ex, x = 0,	y = 0.
56.	y = a(1	cos t)	57. y = arcsin x, 0	6 x 6 1, y = 0.
	½ x = a(t ¡¡ sin t) .

Найти объемы тел, образованных вращением фигур, ограни- ченных линиями вокруг оси Oy:

	58. y2 = x3, y = 0, x = 1.			59. y = ex, x = 0, y = 0.
	60. y = 2x ¡ x2, y = 0.				sin t .
	60. y = 2x ¡ x2, y = 0.			61. ½ xy== 2	sin t .
				p3 cos t
	62. y = 2 ¡	x2	, x + y = 2.
	62. y = 2 ¡	2	, x + y = 2.
Найти площади поверхностей, образованных вращением ли-
ний вокруг оси Ox:

15.8.1 Ответы.

1. 1. 2. 6. 3. ( 1/12)ln5. 4. (¼/4) arctg(¼/4) 5. 7/72. 6. 0,2(e 1)5. 7. 1/4. 8. ¼/2. 9. 2. 10.e ¡ pe .

8 Цыкунов А. М.

226Лекция 15. Оснвные свойства определенного интеграла и его приложение

63. y = 1x3, 0 6 x 6 a.		64. y = a(ea			+ e¡a ),		0 6 x 6 a.
				x		x
	3
	3		2
65.	½ y = a sin3 t .	66. y = 3 , ¡2				6 x 6	2
	x = a cos3 t		x3		1		1.
					1		1.

11.arctg(1/7). 12. 29/3. 13. ln4 3/4. 14. 2¼. 15. 1 2/e. 16.

1.17. 1. 18. ln4 1. 19. 7+ln4. 20. arctge ¼/4. 21. 1/3.22. 32/3.

23.1. 24. 17/4. 25. ln2. 26. 12. 27. 9/2. 28. (3/8)¼ab 29. 3¼a2.

30. ¼ab. 31. (¼a2)/4.
					(¼a2)/4. 33. 18¼a2. 34. 37¼/6 ¡ 5p																																. 35. (¼a2)/4. 36.
		32.			(¼a2)/4. 33. 18¼a2. 34. 37¼/6 ¡ 5p																													3			. 35. (¼a2)/4. 36.
					3. 37. 8 10p																. 38.p																		p
1		1			3. 37. 8 10p											10			1		. 38.p						2				1								p	2			.
	+		2 ln		2							(						¡		)									+ ln(					+							)
	+		2 ln		2					27		(						¡		)									+ ln(					+							)
						p						¡ p					+ ln			(p								¡e1)(p							+ 1)
																							1 + e2
		39.																															2												ln(e +
								1 + e2							2																		2								.		40.
								1 + e2							2																										.		40.
+ p							)				4(e			+			)													a µ		+ 2p3										ln( + p				)¶.
+ p			e ¡				)				4(e			+			)					a								a µ		+ 2p3										ln( + p				)¶.
		2				1			. 41. 1				2				1 .42. 6							. 43. 5							1							1						2	3
		2				1			. 41. 1				2				1 .42. 6							. 43. 5							1													2	3
																	. 47. (3/2)¼a. 48. ap																						(e'0					1). 49. 8,6.
		44. 24. 45. 56. 46. 8															. 47. (3/2)¼a. 48. ap																			2			(e'0				¡	1). 49. 8,6.
50. 9,42. 51. 16. 52. ¼																2a									2		. 54. ¼/4.																¡
50. 9,42. 51. 16. 52. ¼																/2. 53. 3/8¼											. 54. ¼/4.
		55.			¼/2. 56. 5¼2a2. 57. ¼(¼2/4 2). 58. (4/7)¼. 59. 2¼. 60.
		64.			4		(e2 ¡ e¡2 + 4). 65.																	p										¡ 1).
		64.			4		(e2 ¡ e¡2 + 4). 65.																	p		¼a
8/3¼. 61. 25,12. 62. 4,17. 63.¼/9(																										(1 + a4)3
				¼a2																(12/5)									2. 66. 4,25.
																				(12/5)									2. 66. 4,25.

Ë å ê ö è ÿ 16

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

16.1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Определение 16.1. Пусть функция f(x) определена на по-

луитервле [a, 1) и интегрируема по Риману на отрезке [a, b]. Тогда, если существует предел

lim f(x)dx,

b!1

то он назывется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом и обозначается

lim f(x)dx =	f(x)dx:	(16.1)
b!1 Z	Z

Если предел конечный, то говорят, что интеграл сходится, а если он бесконечный или не существует, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогичным образом определяется интеграл с нижним бесконечным пределом или с обоими бесконечными пределами

Zb Zb

lim f(x)dx =

f(x)dx,

b!1

a¡1

lim f(x)dx =	f(x)dx:
b!1 Z	Z
¡b	¡1

В этом случае в определении 16.1 полуинтервал [a, 1) заменяется на полуинтервал (¡1, b] и интервал (¡1, 1) соответ-

228	Лекция 16. Несобственные интегралы

ственно. Интегралы с бесконечными пределами, часто называют

дится.

Вычислить интеграл

несобственными интегралами первого рода1 .

Пример 16.1.

!1 Z

xe¡x2 dx, åñëè îí ñõî-

xe¡

dx = blim

2 dx = blim ¡

xe¡

2e¡

lim

e b2

= 1:

= b!1 ¡2 ³

Принимая во внимание формулу (16.1), можно сделать вывод о том, что несобственные интегралы перволго рода обладают такими же свойствами, какими обладает обычный определенный интеграл. Следовательно, можно использовать все методы интегрирования, рассмотренные для определенного интеграла.

16.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций

Без потери общности, будем рассматривать интегралы с одним бесконечным пределом

Рассмотрим два интеграла

1Z 1Z

1: f(x)dx, 2: g(x)dx

Теорема 16.1. (Первая теорема сравнения) Пусть функции f(x) > 0, g(x) > 0 непрерывны на полуитервале [a, 1), è âû-

полнено неравенство f(x) 6 g(x). Тогда из сходимости второ-

го интегрпла следует сходимость первого, а из расходимости
первого интеграла следует расходимость второго.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем функции верхнего предела
F1(b) = Za f(x)dx, F2(b) =	Za g(x)dx:
b	b

Эти функции непрерывны и дифференцируемы (теорема 15.1). Рассмотрим последовательность fbng. bn ! 1 ïðè n ! 1. Èç

условия f(x) 6 g(x) следует неравенство F1(bn) 6 F2(bn): Тогда в соответствии со следствием к теореме 1.11, следует справед-

16.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций

229

ливость неравенства F1(bn) 6F2(bn), откуда имеем утверждение теоремы. ¤

Пример 16.2. Исследовать на сходимость интеграл

dx : x4 + x + 1

Подынтегральная функция положительна. Однако интегрировать этот интеграл достаточно трудоемко. Поэтому рассмотрим интеграл

!1 Z

= blim

= blim ¡

¡3x3

3b3

Принимая во внимание неравенство¯

x4 + x + 1

на основании теоремы 16.1. делаем заключение о сходимости заданного итеграла.

Теорема 16.2. (Вторая теорема сравнения) Пусть функции f(x) > 0, g(x) > 0 непрерывны на полуитервале [a, 1) è

выполено условие

lim f(x) = A, A 2 (0, 1):

x!1 g(x)

Тогда оба несобственных интеграла

1Z 1Z

1: f(x)dx, 2: g(x)dx

a a

одновременно сходятся или расходятся.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия теоремы следует, что для
8" > 0 9x1 > 0 такое, что при x > x1 выполнено неравенство
		¯	f(x)	¯
Возьмем " = A=2, и раскроем¯				модуль¯	в неравенстве
		¯g(x)		¡ A¯ < ":
	f(x)	¯		¯
1		3		A		3


2A < g(x)		< 2A =) 2 g(x) < f(x) <				2Ag(x):

230	Лекция 16. Несобственные интегралы

Применяя теорему 16.18к системе неравенств

< Ag(x) < f(x),

: f2(x) < 3Ag(x):

2 Если первый итеграл сходится, то из первого неравенства сле-

дует сходимость второго. Если второй итеграл сходится, то из второго неравенства следует сходимость первого. Так как мы имеем систему неравенств, то либо оба итеграла сходятся, либо расходятся. ¤

Пример 16.3. Исследовать на сходимость интеграл

x2sin 1 dx: x3

1R dx

Возьмем для сравнения расходящийся интеграл 1 x . Убедимся, что он действительно расходится

1		b
Z	dx	lim	dx	= lim (lnb	¡	ln1) =	:
	x	lim	x	= lim (lnb		ln1) =	:
	x	= b!1 Z	x	b!1			1
1		1

Найдем предел

µx3

x!1

³x sinx3

= x!1

³x

lim

= 1:

В соответствии с теоремой 16.2, исходный интеграл расходится.

16.3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов

Определение 16.2. Несобственный интеграл

f(x)dx

называетс а) абсолютно сходящимся, если сходится несоб-

ственный интеграл	1
	Z jf(x)j dx,

16.3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов			231
б) условно	1	Ra
	сходящимся если интеграл	1 f(x)dx сходится, а
Теорема R16.3. Из абсолютной сходимости несобственного
интегшрал	a jf(x)j dx расходится.

интеграла от непрерывной функции следует его сходимость.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения модуля функции
следует, что
¡ jf(x)j 6 f(x) 6 jf(x)j : На основании второго свойства
определенных интегралов имеем
b	b	b
¡ Za jf(x)j dx 6 Za f(x)dx 6 Za jf(x)j dx:
Введем функции верхнего предела
	b	b
F1(b) = Za f(x)dx, F2(b) =		Za jf(x)j dx:

Эти функции непрерывны и дифференцируемы (теорема 15.1). Рассмотрим последовательность bn. bn ! 1 ïðè n ! 1. Èç

условия f(x) 6 g(x) следует неравенство

F1(bn) 6 F2(bn): Тогда, в соответствии со следствием к тео-

реме 1.11, следует справедливость неравенств

nlim ¡F2(bn) 6 nlim

F1(bn) 6nlim

F2(bn):

Åñëè òlim F2(bn) конечный, то и òlim ¡F2(bn) тоже конечная

F1(bn) тоже конеч-

отрицательная величина. Следовательно, lim

ная величина.¤

n!1

Теорема 16.4 Если функция f(x) непрерывна при x > a > 0

существует

конечнsые числа

B > 0, ¯ > 1

такие,

÷òî

jf(x)j 6 B=x¯

, то несобственный интеграл 1

Ra jf(x)j dx àáñî-

лютно сходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как несобственный интеграл

µ¡

lim B

= lim B

Z x¯

(¯ ¡ 1) b¯¡1

(¯ ¡ 1) a¯¡1

x¯ dx = b!1

b!1

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3323 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2019611 Кб11Luigi Pirandello_Il fu Mattia Pascal.doc
#
12.04.20152 Мб56makeeva3английсский тех перевод.pdf
#
12.04.20153 Мб21Manual.pdf
#
26.09.2019108 Кб9marketing_ekzamen.doc
#
11.11.2019231 Кб15Markets Дроздова.doc
#
15.03.20162 Мб25matanaliz.pdf
#
12.04.20151 Мб46matrialka_otvety.docx
#
19.11.2019851 Кб20meeting people (2).docx
#
12.04.2015648 Кб20mehanika1980.pdf
#
12.04.2015424 Кб102MEKhANIKA_FIZIKA.doc
#
12.04.20153 Мб10MetodDB.pdf