matanaliz

Функция f (»), а следовательно и функция f (x) в окрестности

точки x = c возрастает, причем слева она отрицательна, а справа

положительна. Следовательно, это точка минимума.¤

Åñëè f(n+1)(c) < 0, то наличие максимума доказывается аналогично.

5.2. Асимптоты графика функции

Определение 5.3. Прямая x = c называется вертикальной асимптотой функции f(x), если, хотя бы один из пределов

lim f(x), lim f(x) равен +1 èëè ¡1:

x!c+0 x!c¡0

Таким образом, для того, чтобы выяснить, имеется ли у функции вертикальные асимптоты, необходимо вычислить левосторонний и правосторонний пределы в интересующей точке. Та- 1 = 0.

кими точками, как правило являются корни уравнения f(x) Эти корни называются полюсами функции f(x):

Определение 5.3. Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой функции y = f(x), если функцию можно

представить в виде f(x) = kx + b + ±(x), ãäå lim ±(x) = 0:

x!1

Теорема 5.5. Для того, чтобы график функции y = f(x)

имел наклонную асимптоту y = kx + b ïðè x ! +1, необходимо и достаточно, чтобы существовали два конечных предела:

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.

Необходимость. График функции имеет асимптоту y = kx + + b. Тогда, функцию можно представить в виде f(x) = kx + b + + ±(x). Найдем пределы:

В точке x = 0 имеем точку перегиба. Теперь легко можно по-

строить эскиз графика функции. Эскиз графика представлен на рис.5.3.

5.3.1. Контрольные вопросы. 1. Как определить направление выпуклости графика функции на интервале?

2. Как определить точку перегиба?

3. Сформулируйте первое и второе достаточные условия наличия точки перегиба.

4. Сформулируйте третье достаточное условие наличия

точки перегиба и точки экс- Ðèñ. 5.3. тремума.

5. Как определить уравнение наклонной асимптоты? 6. Докажите теорему 5.4 для случая f(n+1)(c) < 0

5.4. Методические указания по решению задач 1. Построить график функции

производной первого порядка.

Решение:

1. Произведем исследование функции без привлечения производных.

Данная функция задана аналитическим выражением, элементарная, т.к. это многочлен третьей степени, поэтому область определения

D(y) = R: Òàê êàê D(y) = R, то абсциссой точки графика

может служить любая точка, лежащая на оси OX, т.е. никакие точки, лежащие на оси OX, не исключаем.

Так как заданная функция элементарная, то она непрерывна на D(y) = R, поэтому точек разрыва нет. D(y) симметричное

множество относительно О(0;0), поэтому, если x 2 D(y), òî ¡

¡x 2 D(y).

Найдем y(¡x) = 16(¡x)3 + 12(¡x)2 ¡ 5 = ¡16x3 + 12x2 ¡

¡ 5 = ¡(16x3 ¡ 12x2 + 5). Èòàê, y(¡x) =6 y(x), y(¡x) =6 ¡y(x),

поэтому заданная функция не является ни четной, ни нечетной, значит график функции y = 16x3 + 12x2 ¡ 5 не будет симметри-

чен ни относительно оси OY, ни относительно начала координат.

y0 = (16x3 + 12x2 ¡ 5)0 = 48x2 + 24x = 24x(2x + 1), D(y0) =

= R:

Òàê êàê D(y0) = R, то точек 2 D(y), в которых y0не существу-

ет нет, поэтому для0 нахождения критических точек достаточно решить уравнение y =0.

24x(2x + 1) = 0 ) x = 0 èëè 2x + 1 = 0, x1 = 0 2 D(y),

x2 = ¡1 2 D(y).

2 Теперь выясним, есть ли локальный экстремум в этих точках.

Для этого будем использовать первое достаточное условие. Для простоты построим таблицу: