matanaliz

Ë å ê ö è ÿ 2

ФУНКЦИИ

2.1. Предельное значение функции

Определение 2.1. Если каждому значению переменной x 2 X ½ R ставится в соответствие по известному закону

некоторое число y 2 Y ½ R, то говорят, что на множестве X задана вещественная функция y = f(x). Множества X è Y называются областями определения и значения функции

соответственно.

Рассмотрим функцию y = f(x), определенную на некотором множестве X и точку a 2 X. Эта точка может и не принадлежать множеству X, но любая "-окрестность этой точки содержит точки множества X, отличные от a

Приведем два эквивалентных определения предельного зна- чения функции в точке.

Определение 2.2.

1. Число b называется переделом функции y = f(x) в точке

x = a, если для любой последовательности fxng значений аргумента x, отличных от a и сходящей к a, последователь-

ность значений функции ff(xn)g сходится к числу b

2.Число b называется переделом функции y = f(x) в точке

x = a, åñëè 8" > 0 9± > 0 : jx ¡ aj < ± =) jf(x) ¡ bj < ":

Условное обозначение такое же, как для предела последовательности

Аналогичное определение имеет место, если аргумент стремится к бесконечности

Определение 2.3. Число b называется переделом функции y = f(x) ïðè x ! 1 , если для любой бесконечно большой

последовательности fxng значений аргумента x последовательность значений функции сходится к числу b

Условное обозначение

lim f(x) = b:

x!1

lny = g(x)lnf(x), откуда получаем y = eg(x)lnf(x). В результате

получили выражение, предел которого можно вычислить, либо получим неопределенности вида

h0i h1i

0 , 1 :

2.1.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Определение 2.5. Функции y = ¯(x) называется беско-

нечно малой в точке x = a, åñëè¯(x) = 0:

Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами, как и бесконечно малые последовательности (теоремы 1.1-1.5).

Пусть ®(x) è ¯(x) являются бесконечно малыми функциями в точке x = à

Определение 2.6. Функции ®(x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем ¯(x) (имеет более высокий

порядок малости), если lim ®(x) = 0.

x!a ¯(x)

Условно это записывается в виде ®(x) = î(¯(x)):

Определение 2.7. Функции ®(x), ¯(x) называются беско-

36 Лекция 2. Функции

большой в точке x = a справа (слева), если для любой по-

следовательности fxng x > a (x < a) сходящей к точке x = a,

последовательность значений функции ff(xn)g является бесконечно большой последовательностью определенного знака.

Определение 2.10. Функции f(x) имеет в точке x = a более высокий порядок роста, чем '(x) справа (слева) если функция

f(x) x =

'(x) является бесконечно большой справа (слева) в точке

= a:

Определение 2.11. Функции f(x), '(x) имеют одинаковый

2.2. Непрерывность функции

Определение 2.12. Функции y = f(x), определенная в

окрестности точки a, называется непрерывной в точки a,

åñëè 9 lim f(x) = f(a)

x!a

Принимая во внимание равенство

lim f(x) = f(lim x) = f(a):

x!a x!a

Приведем два эквивалентных определения непрерывности функции в точке.

Определение 2.13. Функции y = f(x) называется непрерыв-

ной в точки a,если если для любой последовательности fxng значений аргумента x, сходящей к a, последовательность

значений функции ff(xn)g сходится к локальному значению функции f(a)

Определение 2.14. Функции y = f(x) называется непрерывной в точки a,если 8" > 0 9±(x, ") > 0 : jx ¡ aj < ±(x, ") =)

) jf(x) ¡ f(a)j < "

Сравните два рисунка. На рис. 2.1, какую бы мы не взяли "- окрестность для значения f(a), всегда 9±(x, ") > 0 : jx ¡ aj <

< ±(x, ") =)

=) jf(x) ¡ f(a)j < " На рис 2.2 существует два значе- ния f(a). f(x) = f1(a), f(x) = f2(a): Для данной функции выполнены условия: 9±(x, ") > 0 : x > a jx ¡ aj < ±(x, ") =)

) jf(x) ¡ f1(a)j < "

9±(x, ") > 0 : x < a jx ¡ aj < ±(x, ") =) jf(x) ¡ f2(a)j < "

В данном случае функция непрерывна справа в точке a и слева. Однако, она не является непрерывной в точке a. Если бы, например f2(a) не существовало, то функция будет непрерывной справа, а слева она была бы не непрерывной в точке a.

38 Лекция 2. Функции

Ðèñ. 2.3. Ðèñ. 2.4.

На рис. 2.3 выполнено условие lim f(x) = lim f(x) = 0.

x!a+0 x!a¡0

Однако, значения f(0) не существует. Следовательно, функция в точке x=0 не является непрерывной. На рис. 2.4 пределы справа

и слева равны бесконечности, а функция на бесконечности не определена.

Определение 2.15. Åñëè lim f(x) = lim f(x), а функция

x!a+0 x!a¡0

f(a) не определена, то говорят, что функция имеет устрани-

= const:, ® 6= ¯, то говорят, что функция имеет разрыв в точке x=a первого рода.

Если хотя бы один предел слева или справа равен 1èëè ¡

¡ 1, то говорят, что функция имеет разрыв второго рода.

½ jxj , åñëè x 6= 0,

2, åñëè x = 0: Эта функция имеет устранимый разрыв в точке x=0. Если доопределить функцию

+ x2) = 2:

Эта функция в точке x=0 имеет разрыв первого рода.

в каждой точке сегмента [a; b], то она непрерывна на всем

сегменте.

Теорема 2.3. ( Теорема о сохранении знака) Если функцèÿ y = f(x) непрерывна в точке x=a, f(a)=6 0, то существует

"-окрестность точки a, в которой функция имеет знак, сов-

падающий со знаком f(a).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция f(x) непрерывна 8" > 0 9± > 0 : jx ¡ aj < ± =) jf(x) ¡ f(a)j < " Выберем величину " из условия " < jf(a)j. Тогда, из неравенства

jf(x) ¡ f(a)j < " получим " + f(a) < f(x) < " + f(a), откуда

следует утверждение теоремы.¤

Теорема 2.4. Если функция y = f(x) непрерывна на сегменте [a; b], и на концах отрезка принимает значения разных

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f(b) > 0, f(a) < 0 Если функция y = f(x) непрерывна на сегменте [a; b] то график

функции непрерывная кривая. График не может перейти из нижней полуплоскости координатной плоскости в верхнею, не пересекая, хотя бы в одной точке, ось абсцисс. Следовательно,

9c 2 [a; b] : f(c) = 0: ¤

Теорема 2.5. Если функция y = f(x) непрерывна на сегменте [a; b], è f(a) < C < f(b), где С любое число, то

9c 2 [a; b] : f(c) = Ñ:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем вспомогательную функцию

Ã(x) = f(x) ¡ C =) Ã(a) = f(a) ¡ C < 0, Ã(b) = f(b) ¡

¡ C > 0: Функция Ã(x) удовлетворяет условиям теоремы 2.4.

Следовательно, 9c 2 [a; b] : '(c) = 0 =) f(c) ¡ C = 0 =) f(c) =

= C:¤

Теорема 2.6. (первая теорема Вейерштрасса) Если функция y = f(x) непрерывна на сегменте [a; b], то она ограничена на

этом сегменте.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что функция не ограничена сверху. Тогда для 8A > 0 9c 2 [a; b] : f(c) < A

fxng значений аргумента x 2 [a; b], сходящая к точке x = c: Тогда, в соответ-

ствии с теоремой 1.5, из этой последовательности можно выделить подпоследовательность fxnk g, сходящую к точке x = c. В этом случае, подпоследовательность ff(xnk )g должна сходиться к значению f(c), которое является неограниченным. Это невоз-

можно, так как по условию теоремы функция f(x) непрерывна

на сегменте [a; b],а, следовательно, в точке x = c 2 [a; b]

правосторонний и левосторонний пределы должны быть равны и иметь конечное значение Противоречие доказывает теорему.¤

Теорема 2.7. (вторая теорема Вейерштрасса) Если функция y = f(x) непрерывна на сегменте [a; b], то она достигает на

этом сегменте своих точных верхней и нижней граней.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть sup f(x) = M: Предполо-

x2[a;b]

жим, что функция не достигает значения M. Тогда M ¡ f(x) > 0.

Введем вспомогательную функцию '(x) = M ¡1f(x). Ýòà ôóíê- ция непрерывна на заданном сегменте по свойствам непрерывных функций. По теореме 2.6, она является ограниченной. То-

ãäà 9B : M ¡1f(x) 6 B. Разрешив это неравенство, получим

не является точной верхней гранью. Противоречие доказывает теорему.¤

Теорема 2.8. (теорема о равномерной непрерывности) Если функция y = f(x) непрерывна на сегменте [a; b], òî îíà ðàâ-

номерно непрерывна на этом сегменте.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция не является равномерно непрерывной. Тогда для некоторого " > 0

не выполняется услîâèå jf(x00) ¡ f(x0)j < ": Поэтому для каж-