Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Астраханский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3316 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Ë å ê ö è ÿ 11

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

11.1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла

На лекциях по дифференциальному исчислению рассматривалась задача отыскания производной для функции y = f(x): Ðàñ-

смотрим обратную задачу, которая заключается в поиске такой функции F (x), производная которой равна некоторой известной

функции f(x), ò. å. F 0(x) = f(x):

Определение 11.1. Функция F (x) называется первообразной функцией для функции f(x) на отрезке [a, b], åñëè â

любой точке интервала (a, b) функция F (x) дифференцируема и выполняется равенство F 0(x) = f(x):

Найтем первообразную для функции f(x) = x5. Очевидно,

÷òî F (x) =	x6	Однако, функция	F (x) =	x6		+ Ñ, ãäå C
	6				6

любая произвольная постоянная, тоже является первообразной для функции f(x) = x5,в соответствии с определением

Теорема 11.1. Åñëè F1(x), F2(x) две первообразные для функции f(x), то разность между ними равна постоянному

числу.		ò å ë ü ñ ò0 â î.		В соответствии с опреде-
	Ä î ê à ç à0
лением имеем F1		(x) = f(x), F2(x) = f(x), 8x 2 [a, b]. Обозначим
0	0	0
Ã	(x) = F1(x) ¡ F2(x), 8x 2 [a, b]. Так как функции F1(x), F2(x)
дифференцируемы на интервале (a, b), то функция Ã(x) диффе-
		0		0	0
ренцируема и выполнено условие Ã			(x) = F 1(x) ¡ F2(x) = f(x) ¡

¡ f(x) = 0, 8x 2 [a, b]. Тогда получаем, что Ã(x) = C, 8x 2 [a, b].

Из теоремы следует, что каждая функция имеет бесчисленное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянной составляющей.

Определение 11.2. Совокупность всех первообразных функ- öèè f(x) называетсяR неопределенным интегралом и обознача- ется символом f(x)dx.

11.1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла 153
Таким образом, по определению, с учетом теоремы 11.1,
имеем	Z f(x)dx = F (x) + C,	(11.1)

ãäå F 0(x) = f(x), а функция f(x)называется подынтегральной

функцией.

Основные свойства неопределенного интеграла. Из опре-

деления неопределенного интеграла вытекают следующие свой-

ñòâà.

= (F (x) + C)

= f(x):

1. ( (x)dx)

2. dR(f f(x)dx) = d (F (x) + C) = (F (x) + C)0 dx = f(x)dx:

df(x) = f0(x)dx =f(x) + C.

Постоянный множитель

можно выносить за знак инте-

грала.

®f(x) è

(® f(x)dx) = ®f(x)

Èç

первого

свойства следует

( ®f(x)dx)0

R5.

(f(x) § g(x)) dx = f(x)dx §R g(x)dx.

, откуда следует

®f(x)dx = ®

f(x)dx

этого

Справедливость

свойства следует из следующих равенств:

µZ

(f(x) § g(x)) dx¶0

= f(x) § g(x),

µZ f(x)dx¶0

§ µZ g(x)dx¶0

= f(x) § g(x):

Следовательно, выражения

Z f(x)dx § Z g(x)dx

(f(x) § g(x)) dx,

представляют совокупность всех первообразных для одной и той же функции f(x) § g(x). Значит они равны.

Таблица основных интегралов

1 d x = x + C;

0 d x = C;

xj a+j1

1 ;

d x

= ln x + C, (x = 0);

d x

= 1

+ C6;

x d x =

+ C (a =

)

a + 1

a d x

x + a

;

2 + x2

aarctg a

¯ + C

R a2 ¡ x2

= 2a ln

x ¡ a

154

Лекция 11. Неопределенный интеграл

¡d x

;

= ln x¯

+ a + C

d x

= 1 ln

x ¡ a

+ C;

x2 + a

x + a

¯x

d x

arcsin¯

+ C

;

10.

(

³¯

arccos

+ C,

< 1

12.

e d x = e

+ C;

R sin x d x =

cos x + C;

11.

R axd x =

+ C, (a > 0, a = 1);

ln a

14.

d x

ctg x + C, (x = ¼n, n

Z);

13.

R cos x d x = sin¡ x + C;

d x

16.

sin2 x

R sh x d x = chx + C³;

15.

cos2 x

x + C x 6=

+ ¼n n 2 Z ;

17.

Rch x d x = sh, x + C;

18.

d x

cthx + C, (x = 0);

Rshd2xx

19.ch2x = thx + C;

11.2. Основные методы интегрирования

При вычислении неопределенных интегралов требуется подынтегральную функцию преобразовать к табличной форме. Для этого существуют различные приемы, которые и будут рассмотрены в данном разделе.

11.2.1. Замена переменной в неопределенном интеграле. Одним из основных способов вычисления неопределенных интегралов является метод замены переменной, который основывается на следующей теореме.

Теорема 11.2. Предположим, что существует неопределенный интеграл

f(x)dx = F (x) + Ñ:

Пусть функция x = '(t) определена дифференцируема и имеет обратную функцию t = ©(x) на некотором множестве T ½ ½ R, и пусть X ½ R множество значений функции '(t).

11.2. Основные методы интегрирования

155

Тогда на множестве T для функции f('(t))'0(t) существует первообразная равная F ('(t)) + Ñ, ò:å:

Z f('(t))'0(t) dt = F ('(t)) + Ñ,	(11.2)
равенство
и справедливо Z f(x)dx = Z f('(t))'0(t) dt:	(11.3)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции и определением для первообразной

dtd (F ('(t)) + Ñ) = F'0 ('(t))'0(t) = Fx0 (x)'0(t) = = f(x)'0(t) = f('(t))'0(t) :

Равенство (11.2) доказано. С другой стороны '0(t) dt = d'(t) =

= dx, откуда следует

f('(t))'0(t) dt = f(x)dx Следовательно, справедливо равенство (11.3). ¤

Иногда удобно делать замену t = Ã(x), à íå x = '(t). Тогда

dt = Ãx0 (x)dx, à

dx =

Ã0

(x)

Пример 11.1. Вычислить

cosx

dx:

4 ¡ sin2x

Решение.

¯ =

cosx

dx =

z = sinx, dz = cosxdx

cosx

dx =

cosx

4 sin2x

cosx

sinx

= arcsin

+ C = arcsin¯

+ C:

2 .

Пример 11.2.

Вычислить

x dx

Решение.

x = 3sinz, dx = 3coszdz,

dx = ¯ sinz =

Z p

¡ x

3 , z = arcsin 3

9sin2z coszdz =

cos2z

= 9 Z cos2zdz = 9

µZ

+ Z

dz¶ = 2z +

4 Z cos zd(

z) =

156	Лекция 11. Неопределенный интеграл

4sin

z + C =

p ¡ sin z + C =

9z + 9

9arcsin

+ 9sinz

= 2arcsin 3

+ 2xr

+ C = 2arcsin 3 +

2p ¡ x

+ C:

11.2.2.

Подведение функции под дифференциал. Если

f(x) = ®'(x)R'0(x), ãäå ® - константа, то интеграл примет вид

в интеграле

f(x)dx функцию f(x) можно преобразовать к виду

f(x)dx = ® '(x)'0(x)dx:

Принимая во внимание равенство '0(x)dx = d'(x)) получим

Z Z

® '(x)'0(x)dx = ® '(x)d'(x)):

Если теперь сделать замену переменной z = '(x), то получим

табличный интеграл

Z zdz =

+ C:

Пример 11.3. Вычислить R

lnx

dx:

= d (lnx), òàê êàê (lnx)0

= 1

Решение. В этом интеграле

Поэтому получаем

lnx

(lnx)2

dx = Z lnxd(lnx) = jz = lnxj = Z zdz =

+ C:

Пример 11.4. Вычислить

sin (4x + 3) dx:

В данном случае нет

явной производной. Поэтому формируем

ее искусственно. Умножим и разделим на четыре.

Z sin ( x +

) dx =

4 Z sin ( x +

)

dx:

В полученном интеграле 4dx = d (4x + 3). Тогда получаем

Z sin (

) = jz =

j =

Z sin (4x + 3) 4dx = 4

x +

) d ( x +

x +

4 Z sinzdz = ¡4cosz = ¡4cos (

x +

) + C:

11.2.3.

Интегрирование

ïî

частям.

Теорема 11.3.

Пусть функции u(x) è v(x) дифференцируемы на некотором

множестве X ½ R и для функции v(x)u0(x)

существует ее

d (uv) = udv + vdu

11.2. Основные методы интегрирования

157


первообразная на этом множестве0	. Тогда существует перво-
образная и для функции u(x)v (x) и справедлива формула
Z u(x)v0(x)dx = u(x)v(x) ¡ Z v(x)u0(x)dx:
Удобнее пользоваться следующей формулой
Z udv = uv ¡ Z vdu:		(11.4)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Вычислим дифференциал, пользуясь известной формулой вычисление дифференциала от произведения двух функций

Проинтегрируем обе части данного уравнения, принимая во вни-

мание равенство

d (uv) = uv + C:

При этом константу C можно отнести к любому интегралу в

полученной формуле

uv = Z udv + Z vdu,

откуда получаем формулу (11.4). Учитывая равенства dv(x) =

= v0(x)dx

du(x) = u0(x)dx, получаем

Z u(x)v0(x)dx = u(x)v(x) ¡ Z v(x)u0(x)dx:

Из условия существования первообразной для функции v(x)u0(x)

следует, что существует первообразная функции u(x)v0(x) :¤

Решение.

Пример 11.5. Вычислить

xsin2xdx:

sin 2x d x =

1 cos 2x

x sin 2x d x = ¯

d v = sin 2x d x

v =

u = x

d u = d x

¡2

2¯

= ¡2x cos

¯x + 2 Z cos

x dx = ¡

2x cos

x +

4 sin

x + C:

Решение.

Вычислить

Пример 11.6.

exsinxdx:

v = ¡ cos x

¯ =

J = Z ex sin x d x =

d v = sin x d x,

u = ex,

d u = ex d x

158	Лекция 11. Неопределенный интеграл
	= ¡ex cos x + Z ex cos x d x =

Еще раз интегрируем по частям

=	¯	u = ex , d u = exd x	¯	= ¡ex cos x + ex sin x ¡ Z ex sin x d x:
=	¯	d v = cos x d x, v = sin x	¯	= ¡ex cos x + ex sin x ¡ Z ex sin x d x:
	¯		¯
	¯		¯
Имеем¯			¯

Z Z Z

ex sin x d x = ex(sin x ¡ cos x) ¡ ex sin x d x ) 2 ex sin x d x =

= ex(sin x ¡ cos x):

ex sin x d x = ex(sin x ¡ cos x) + C:

11.3.Контрольные вопросы.

1.Сформулируйте и докажите теорему о разности двух первообразных одной и той же функции.

2.Сформулируйте и докажите теорему о замене переменных

âнеопределенном интеграле.

3.Объясните, в чем заключается суть процедуры подведения под дифференциал ?

4.Выведите формулу для интегрирования по частям.

5.Перечислите и докажите основные свойства неопределенного интеграла

11.4. Методические указания по решению задач.

Подведение под дифференциалR . Пример 11.7. Вычислить (x ¡ 3)4d x.

Решение. Воспользуемся тем, что d x = d (x ¡ 3).

3)4d x = (x

3)4 d (x

3) =

(x ¡ 5)5

+ C:

Решение. ВоспользуемсяR

òåì, ÷òî

5 .

Пример 11.8. Вычислить

d x

(2 x ¡ 5)3 .

d x = 2d (

x ¡ )

Z (2 x ¡ 5)3

¢ 2

¡2

d x

= (2x

5) 3

1 d (2x

5) = 1

(2x ¡ 5)¡2

+ C =

11.4. Методические указания по решению задач.

159

Пример 11.9. Решение.

= ¡4 (2x1¡ 5)2 + C:

R 3 x + 1 Вычислить x + 2 d x.

Преобразуем подынтегральную дробь:

3x + 1

= 3

(x + 2) ¡ 5 = 3

x + 2

¡ x + 2

3 x + 1

x + 2

d x

Z x + 2 d x = Z ³3 ¡ x + 2

´ d x =

Z d x ¡

Z x + 2

x¡

¡5 Z

d (x + 2)

=3 x ¡ 5 ln j x + 2 j + C:

x + 2

Пример 11.10. Вычислить R

x d x

4 + x2

Воспользуемся тем, что

Решение.

x d x =

2d (x

)

x d x

d (x2 + 4)

4 + x2

+ x

d x +

+ C == 4 + x2 + C:

= 1 ¢ 2 ¡42+ x2¢

Пример 11.11 Вычислить R

d x

.d x

= d (ln x).

Решение. Воспользуемся тем, что

+ C = 2 q

(ln x)1/2 d (ln x) = 2

(ln x)3/2

(ln x)3

+ C:

Пример 11.12. Вычислить

esin x ¢ cos x d x.

Решение.

Воспользуемся тем, что

cos x dx = d (sin x)

Z esin x ¢ cos x dx = Z esin xd (sin x) = esin x + C:

Пример 11.13. Вычислить

x ¢ d x

1 + x4 .

2 .

Решение.

Воспользуемся тем, что

x ¢ d x = 2d (x )

x d x

d (x2)

1arctg

Z 1 +¢

x4 = 2 Z 1 + (x2)2 =

+ C:

Пример 11.14. Вычислить R tg2x d x.

160	Лекция 11. Неопределенный интеграл

Решение. Используем тождество						1		1.
Решение. Используем тождество					tg2x = cos2 x		¡	1.
Z tg2x d x = Z ³cos2 x ¡ 1´ d x = Z					tg2x = cos2 x		¡
Z tg2x d x = Z ³cos2 x ¡ 1´ d x = Z				cos2 x ¡ Z d x = tg x ¡ x + C:
1				d x
Пример 11.15. Вычислить	R	xdx	:
Пример 11.15. Вычислить		x2 + 4	:
		x2 + 4

Решение. Выражение 2xdx = d(x2 + 4). Поэтому умножаем

и делим на 2, и выносим постоянный множитель 1/2 за знак интеграла

Z x2 + 4 = 2

x2 + 4

= ¯t = x2 + 4¯ =

xdx

d(x2 + 4)

= 2

= 2lnt + C =ln

+ C:

Пример 11.16. Вычислить

arctgxdx

. Поэтому получаем

dx x2 + 1

Решение. Выражение

= d(arctgx)

x2 + 1

arctgxdx

= Z arctgxd(arctgx) = jt = arctgxj =

x2 + 1

(

arctgx)2

= Z tdt =

+ C =

+ C:

Пример 11.17. Вычислить

3x + 2

Решение. Выражение 3dx = d(3x + 2). Поэтому умножаем

и делим на 3, и выносим постоянный множитель 1/3 за знак
интеграла	Z 3x + 2 =				3	Z	3x + 2		= jt = x + j =
	Z 3x + 2 =				3	Z	3x + 2		= jt = x + j =
		dx			1		d (3x + 2)					3			2
			Z		1							3			2
	= 3		Z	t =		3lnt + C = lnp x +									+ C:
				dt
	1					1				3 3			2
Замена переменных.									6
									6
Пример 11.18. Вычислить									px d x					:.


								R x (px + px )
									3		4

= 12 R

11.4. Методические указания по решению задач.

161

Решение. Наименьшееp общее кратное показателей 12. Сделаем подстановку t = 12 x , тогда,

+12

x (px + px )

¯ d x = t d t

t12(t4 + t3)

d t =

x d x

t =

x = t

d t

(t2

1) t2

¡ ¡

¯t =

d t+

2 1

¡ R

t (t + )

t + 1

= ¡12 Z

+ 12 Z

+ 12 ln j t + 1 j = ¡12 ln j t j ¡

d t

t + 1

´ ¡

ln j t +

j + C =

+ C:

Возвращаясь к старой переменной x, имеем

							px d x						= ln					( px +						)							12 + C:
							6											12		x		1 12					¡				px
				Z x (px + px )																x							¡				px
							3		4						R					t =										12						d t =					x d x
							3		4																					12
								Åñëè																		x ¡
Пример 11.19. Вычислить																(2x2 ¡ 7)4x d x.
Решение.											принять, что													2				2				7, òî							4 ,
откуда					d t
	x d x =				d t	: Произведем замену переменной в данном интегра-
	x d x =					: Произведем замену переменной в данном интегра-
ëå.				4
ëå.				) x d x = Z t							4 =				4		Z t d t =					20					t		=			20			( x ¡				)		+ C:
Z ( x ¡				) x d x = Z t							4 =				4		Z t d t =					20					t		=			20			( x ¡				)		+ C:
2 2				7 4						4		d t			1 4								1					5					1	2 2				7		5
2 2				7 4						4					1 4													5						2 2				7		5
Пример 11.20. Вычислить															R	p					¢ x2d x.
Пример 11.20. Вычислить																p			x3 + 8		¢ x2d x.
= d t								Положим,										x3 + 8 = t, òî d t = 3 x2d x, x2d x =
Решение.														÷òî
		.
	3	.
	Z p						¢ x d x = Z pt											3 =		3 Z t				1	d t =							3 ¢ 3 t				3	+ C =
	Z p		x +				¢ x d x = Z pt											3 =		3 Z t					d t =							3 ¢ 3 t					+ C =
																	d t
				3		8		2												1				2								1			2	2
				3		8		2												1				2								1			2	2

=2 (x3 + 8)3 + C:

Решение. Положим, чтоRln x + 3 = t, òî d t = dxx.

Пример 11.21.

Вычислить

(ln x + 3)2

d x.

(ln x + 3)2

d x = Z t2d t = 3 + C =

(ln x +

)

+ C:

Пример 11.22. Вычислить

R sin5 x d x.

cos x

6 Цыкунов А. М.

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3316 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2019611 Кб11Luigi Pirandello_Il fu Mattia Pascal.doc
#
12.04.20152 Мб56makeeva3английсский тех перевод.pdf
#
12.04.20153 Мб21Manual.pdf
#
26.09.2019108 Кб9marketing_ekzamen.doc
#
11.11.2019231 Кб15Markets Дроздова.doc
#
15.03.20162 Мб25matanaliz.pdf
#
12.04.20151 Мб46matrialka_otvety.docx
#
19.11.2019851 Кб20meeting people (2).docx
#
12.04.2015648 Кб20mehanika1980.pdf
#
12.04.2015424 Кб102MEKhANIKA_FIZIKA.doc
#
12.04.20153 Мб10MetodDB.pdf