matanaliz

Таким образом, выполнение одного из условий является необходимым и достаточным условием выполнения остальных условий. Поэтому доказательство будем осуществлять по кругу.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. (1 ! 2) Пусть выполнено условие

ACB Z

+P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0:

BKA

(2 ! 3) Так как выполнено условие 2, то имеем, что значение

интегралаR

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = u(A, B) не зависит от пути инте-

AB

грирования. Иными словами значение u(A, B) зависит только от координат точек Aè B:Пусть точка A фиксированная, а точка B произвольная. Дадим приращение в точке B, так чтобы новая точка D(x + ¢x, y) не выходила за пределы области G. Тогда приращение функции ¢u будет равно

=P (x, y)dx + Q(x, y)dy:

BD

Так как отрезок BD параллелен оси Ox, òî dy = 0. Поэтому, получаем

274 Лекция 19. Криволинейные и поверхностные интегралы

вательно, существует функция u(x, y), удовлетворяющая усло-

вию(19.3). Докажем справедливость формулы (19.4). Пусть кривая L задана в параметрической форме x = '(t), y = Ã(t). Â

точках Aè B, t =Zta, t = tbТогда, получим

P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

AB

Ztb

=(P ('(t), Ã(t))'0(t) + Q('(t), Ã(t))Ã0(t))dt =

ta

Ztb

=du('(t), Ã(t)) = u('(tb), Ã(tb)) ¡ u('(ta), Ã(ta)) = u(B) ¡ u(A):

ta

Формула (19.4) позволяет вычислять криволинейные интегралы через первообразную.

19.2. Приложение криволинейных интегралов 19.2.1. Вычисление площади фигуры.. Пусть требуется

вычислит площадь фигуры, изображенной на рис. 18.6. y = '(x),

y = Ã(x) участки ACB è AKB, x = ´(y), x = µ(y) участки CBK è CAK соответственно

вычисления массы всей кривой разобьем кривую произвольным образом на n участков точками Mi, i = 0, n. Это разбиение обо-

значим символом Tn. На каждом у÷àñòке возьмем произвольные

Переходя к пределу при n ! 1, получим криволинейный инте-

19.2.3. Вычисление работы силы. Если материальная точка движется вдоль кривой L под действием силы F (x, y),

проекции которой на оси координат равны P (x, y), Q(x, y), то разобьем кривую произвольным образом на n участков точками

Mi, i = 0, n. На каждом у÷àñтке возьмем произвольные точки с координатами (xi, yi), i = 0, n .Составим интегральную сумму

Xn

J1(F ) = P (xi, yi)¢xi + Q(xi, yi)¢yi:

i=1

L

Если рассмотреть эту задачу в пространстве, когда составляющими силы являются компоненты P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z),

то работаZвычисляется по формуле

A = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz: (19.11)

L

19.3. Поверхностные интегралы

Предварительно исследуем вопрос о понятии поверхности и площади поверхности.

19.3.1. Понятие поверхности.. Пусть в области G

на плоскости задана векторная функция z = f(x, y), которая отображает область G ½ R2 в область D ½ R3. Предположим,

что функция z = f(x, y) является взаимно однозначной, т. е. существует обратная непрерывная функция f¡1(z), которая од-

нозначно отображает область D â G

Определение 19.1. Множество мочек D трехмерного про-

странства R3 называется элементарной поверхностью, ес-

ли это множество является областью значений некоторой взаимно-однозначной непрерывной функции, которая отображает открытый круг G в эту область D

Определение 19.2. Множество D ½ R3 называется про-

стой поверхностью, если это множество связно и любая точ- ка этого множества имеет окрестность, которая является элементарной поверхностью.

Определение 19.3. Поверхность D, точки которой имеют координаты x, y, z называется регулярной (k ðàç äèô-

ференцируемой), если при некотором k > 1 у каждой точки

M(x, y, z) 2 D есть окрестность, в которой возможна k раз дифференцируемая параметризация

где функции k раз дифференцируемы. Если

ность называют гладкой.

Поверхность в трехмерном пространстве можно задать в декартовой системе координат в явном z = f(x, y), или в неявном

âèäå F (x, y, z) = 0 а также в параметрической форме (19.12)

или с помощью векторных функций. В этом случае берется произвольная точка M(x, y, z) 2 D. Обозначим через r(M) вектор,

идущий из начала координат в точку M, который будем назы-

вать радиусом вектором поверхности. В этом случае функции в (19.12) являются координатами радиуса вектора r(M). Ïðè ôèê-

сированных значениях одной из координат u èëè v и изменении

другой, радиус вектор будет описывать на поверхности линии, которые называются координатными. Эту систему координатных линий принято называть системой0 криволинейных0 координат. В этом случае производные ru(uv), rv(u, v) являются векторами, касательными к координатным линиям. Следовательно они располагаются в касательной плоскости в соответствующей точке. Тогда¡вектор,0 являющийся0 ¢ результатом векторного произведения N = ru(u, v) £ rv(u, v) , будет вектором нормали в соответствующей точке, а вектор

n= ¯ru0 (u, v) £ rv0 (u, v) ¯ ¯¯ru0 (u, v) £ rv0 (u, v) ¯¯

является единичным вектором нормали к поверхности. Если поверхность гладкая, то векторные функции N(u, v) è n(u, v)

будут непрерывными. Поэтому в окрестности каждой точки поверхности будет существовать векторное поле нормалей.

Определение 19.4. Поверхности, на которых в целом существует непрерывное поле нормалей, называются двусторонними. Если такого поля не существует, то поверхности называются односторонними.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), то вектор

нормали в точке M(x, y, z) имеет вид N = (fx0 (x, y), fy0 (x, y), ¡

¡1):

19.3.2. Понятия поверхностных интегралов и способы их вычисления. Пусть D гладкая ограниченная двусторонняя

Принимая во внимание равенства cosZd¾ = §dxdy, cosY d¾ =

= §dxdz,

§cosXd¾ = dydz (плюс, если углы острые, минус, если углы

Dyz

Таким образом определение поверхностных интегралов и способ их вычисления аналогичны определению двойных интегралов. Поэтому свойства двойных интегралов и условия их существования легко переносятся на поверхностные интегралы.

Следует отметить, что формула для вычисления интеграла первого рода справедлива, если уравнение поверхности задано в виде y = f(x, y).

19.3.3. Формула Остроградского. Формула Остроградского связывает поверхностный интеграл по замкнутой внешней поверхности с тройным интегралом по объему, ограниченной этой поверхностью.

Предполагается, что любая прямая параллельная оси Oz пересекает по-

верхность в двух точках. Пусть задана замкнутая поверхность S, состоящая

из внешних частей D1, D2 , которые

описываются функциями y = f1(x, y), y = f2(xy) (рис.194).Эта поверхность ограничивает некоторое тело объемом V:

19.4. Контрольные вопросы

1. Докажите теорему о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

2. Как вычисляется площадь фигуры с помощью криволинейного интеграла?

3. Приведите формулы, используемые в приложениях криволинейных интегралов.

4.Дайте определение поверхностных интегралов. 5. Как вычисляются поверхностные интегралы?

6 Докажите формулу Остроградского для любой составляю- ùåé7.. Приведите формулу Стокса.

19.5. Методические указания по решению примеров Пример 19.1. Вычислить интеграл R 2xydx + x2dy

с координатами (1, -1) до точки (4,2). L

@u(x, y) = x2 @y

u(x, y) = 2xydx = x2y + C(y):

Принимая во внимание второе равенство, дифференцируем полу- ченное равенство по y.

x2 + Cy0 (y) = x2 =) Cy0 (y) = 0 =) C(y) = A, A = const: