Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Астраханский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3325 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

242 Лекция 17. Двойные интегралы

ãäå	Mij = sup f(x, y), mij =	inf f(x, y):
	Mij = sup f(x, y), mij =	inf f(x, y):
	x,y24sij	x,y24sij

Пусть в приведенных неравенствах x = »i, »i 2 [xi¡1xi]. Принимая во внимание (17.4), получим

mij¢yj 6 y yZj1 f(»i, y)dy 6 Mij¢yj:
	j¡
Суммируя по всем j, будем иметь
m	m
X	Xj	Mij¢yj:
	mij¢yj 6I(»i) 6	Mij¢yj:
j=1	=1
Умножив на ¢xi , и просуммировав по i, получим
n m	n	n	m
XX	X	Xi	X
mij¢yj¢xi 6 I(»i)¢xi 6			Mij¢yj¢xi:
i=1 j=1	i=1	=1 j=1

В левой части и в правой части этих неравенств получились нижняя и верхняя интегральные суммы для двойного интеграла. Переходя к пределу, подучим

4!0 i=1 j=1 mij¢yj¢xi =	4!0 i=1 j=1		ij	j i	ZZ
n m		n m			D
XX		XX		¢y ¢x =	D
lim	lim		M	¢y ¢x =	f(x, y)ds:
Следовательно		I(x)dx = Z dx Z			¤
4!0 i=1 I(»i)¢xi = Z		I(x)dx = Z dx Z			¤
n	b		b	d
lim				f(x, y)dy:
X	a		a	c

Переход от двойного интеграла к повторному, по существу, яв-

ляется способом его вычисления.			RR
= 2, y1 = 1, y2 = 3:	Вычислить		RR				= 1, x2 =
Пример 17.1.	Вычислить		D x2y3dxdy.	D; x1			= 1, x2 =
ZZ x2y3dxdy = Z dx Z x2y3dy = Z x2dx µy44					¶¯	1	=
	2	3	2		¯	3
D	1	1	1		¯
	1	1	1		¯
					¯
					¯

17.3. Сведение двойного интеграла к повторному однократному 243

	2		x3	¯	2
			x3		2	560
	= 20 Z x2dx = 20 3				1 =	560
	= 20 Z x2dx = 20 3				1 =	3 :
	1			¯
	1			¯
				¯
Произвольная форма области интегрирования.¯							Рассмотрим
случай, когда область интегрирования имеет произвольную фор-
ìó. Пусть	имеется						интеграл
	ZZ f(x, y)ds:
	D
Область интегрирования D изображе-
на на рис.17.3. Введем новую функцию
на прямоугольнике G
F (x, y) = ½	f(x, y), åñëè x, y	2	D,			Ðèñ. 17.3.
F (x, y) = ½	0, åñëè x, y 2= D:	2				Ðèñ. 17.3.

Тогда в прямоугольнике G она интегрируема, и можно записать

F (x, y)ds = dx F (x, y)dy:

Gk c

На полуинтервалах [k, a), (b, p] F (x, y) = 0. Поэтому полу-

÷àåì	ZZ F (x, y)ds = Zb dx Zd F (x, y)dy:
	ZZ F (x, y)ds = Zb dx Zd F (x, y)dy:
	G	a c

Но в областях G1 : x1 = a, x2 = b, y 2 [c, f1(x)) è G2 : x1 = = a, x2 = b, y 2 (f2(x), d], функция F (x, y) = 0. Иными словами, переменная y принимает значения из отрезков [f1(x), f2(x)], когда x 2 [a, b]: В результате имеем

ZZ f(x, y)ds = Za dx		f2(x)	F (x,	y)dy =	Za dx	f2(x)	f(x, y)dy:
ZZ f(x, y)ds = Za dx		1Z	F (x,	y)dy =	Za dx	1Z	f(x, y)dy:
	b				b
G		f (x)				f (x)
Òàê êàê	ZZ f(x, y)ds =			ZZ F (x, y)ds,,

является взаимно однозначным

переводит область

В качестве примера можно рассмотреть область изображенную на рис. 17.4. В этом случае область придется разделить на две. Тогда интеграл

244 Лекция 17. Двойные интегралы

получаем	ZZ f(x, y)ds = Zb dx f2Z(x) f(x, y)dy:
	ZZ f(x, y)ds = Zb dx f2Z(x) f(x, y)dy:
	D	a f1(x)

Следует отметить, что область, по которой можно перейти от двойного интеграла к повторному, должна быть правильной

. По одной переменной границы изменения должны быть фиксированными, а область изменения второй переменной должна ограничиваться двумя функциями, как это изображено на рис. 17.3.

	ZZ	f(x, y)ds = Za dx	f2(x)	f(x, y)dy+
	ZZ	f(x, y)ds = Za dx	1Z	f(x, y)dy+
		c
Ðèñ. 17.4.	D		f (x)
		+ Zb dx f2Z(x) f(x, y)dy:
		c f3(x)

17.4. Замена переменных в двойном интеграле

Пусть имеется двойной интеграл	от функции z = f(x, y)
по области D: Требуется произвести	замену переменных x =

= '(u, v), y = Ã(u, v). Приведем без доказательства теорему,

позволяющую осуществить требуемую замену.

Теорема 17.4. Если преобразование x = '(u, v), y = Ã(u, v)

D â G

и функции '(u, v), Ã(u, v) в области D имеют непрерывные частные производные и отличный от нуля якобиан

	¯	@'		g'	¯
D(x, y)	¯		@u	@v	¯
	¯		@u	@v	¯	,
	¯	@Ã @Ã			¯
D(u, v)	= ¯	@Ã @Ã			¯
	¯				¯
	¯				¯

17.4. Замена переменных в двойном интеграле					245
ведлива формула				RR
то при условии существования интеграла				f(x, y)ds, ñïðà-
ZZ f(x, y)dxdy = ZZ		¯		D	¯dudv:
ZZ f(x, y)dxdy = ZZ	f('(u, v), Ã(u, v))	¯	D(u, v)		¯dudv:
		¯	D(x, y)		¯
		¯			¯
		¯			¯

DD1

17.4.1. Цилиндрические координаты. Для перехода от декартовой системы координат (x, y, z) к цилиндри-

ческим (', ½, z), используются следующие формулы перехода

x = ½cos', y = ½sin', z = z.

Если имеем интеграл в декартовой системе координат, а
необходимо осуществить замену переменных с использованием
цилиндрических координат, то вычисляем якобиан											¯
D(x, y)			¯		½sin'	cos'		¯	¯	D(x, y)	¯
			¯					¯	¯		¯
	D(', ½)	= ¯		¡½cos'		sin'		¯ = ¡½,	¯	D(', ½)	¯ = ½:
Следовательно, будем¯					иметь			¯	¯		¯
	ZZ f(x, y)dxdy =					ZZ	f(½cos', ½sin')½d½d':

DD1

Пример 17.2. Вычислить

(x + xy) dxdy, D : x2 + y2 = 4:

Переходим к цилиндрическим координатам x + xy = ½cos' +

+ ½2cos'sin'. Область

D : x2 + y2 = 4 остается кругом ½ = 2 После замены переменных, получим

D			D ¡	¢
ZZ	(x + xy) dxdy = ZZ1			½cos' + ½2cos'sin' ½d½d' =
	=	2Z¼ d' Z2	¡	¢
	=	2Z¼ d' Z2	½2cos' + ½3cos'sin' d½ =

Z		µ					¶¯
2¼		½3			½4			2
0		½3			½4		¯
=	d'		3	cos' +	4	cos'sin'	¯	0 =
							¯
							¯

Ðèñ. 17.5.

246

Лекция 17. Двойные интегралы

2¼

´¯

2¼

Z cos'd' +

Z sin 'd' =

sin' ¡ cos2'

0¯

= ³

sin

¼ ¡ cos

¼´ ¡ ³

sin

¡ cos

17.5.Приложения двойного интеграла

17.5.1.Вычисление объемов. Когда вводилось понятие двойного интеграла, было выяснено, что численно его значение равняется объему фигуры, заключенной между поверхностью z =

=f(x, y) и плоскостью xOy. Рассмотрим пример по вычисления

объема.

Пример 17.3. Вычислить объем фигуры, ограниченной поверхностями

z2 = x2 + y2z2 + x2 + y2 = 8, z = 0:

Имеем перевернутый конус, вырезающий шаровой сегмент и из шара. Преобразуем заданные уравнения в цилиндрические коор-

динаты x = ½cos', y = ½sin', z = z p

z = ½, z = 8 ¡ ½2 , z = 0: Определим

область интегрирования, которой является проекция линииp пересечения на плоскость xOy. ½ = 8 ¡ ½2 =) ½ = 2 . Получили,

что областью интегрирования D является

окружность радиуса 2.

В декартовых координатах объем данной фигуры выражается формулой.

4¡x2

¶dy =

V = Z2 dx

8 ¡ x2 ¡ y2

x2 + y2

½d½ = d'

(

¡ ½ )

¡ 3

0 =

µq

¡ ½

2¼

½3

17.5.

Приложения двойного интеграла

247

= 3

d' =

¡ ¼ ( : ):

2¼

êóá åä

17.5.2.Механические приложения. Пусть ¹(x, y)

плотность распределения массы некоторой плоской фигуры D.

Тогда масса плоской фигуры определяется по формуле

m = ¹(x, y)dxdy:

Статические и кинетический моменты плоской фигуры D относительно осей Ox , Oy с помощью формул

Mx = ZZ ¹(x, y)ydxdy, Jx =	ZZ ¹(x, y)y2dxdy,
D	D
My = ZZ ¹(x, y)xdxdy, Ju =	ZZ ¹(x, y)x2dxdy:
D	D

Для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры, справедливы формулы:

x¤ = Mmy , y¤ = Mmx :

Пример 17.4. Вычислить координаты центра тяжести плоской однородной фигуры с плотностью распределения массы ¹(x, y) =

=1, которая ограничена функциями y = 1 + x2, y = 0, x = 0, x =

=3: Определяем массу

m = dxdy =

dy =

1 + x2

dx = x +

= 12:

1+x2

Определим статические моменты:

µx + 23

+ 5

0 =

Mx = Z dx

ydy = Z

dx =

¶¯

1+x2

1 + x2

243

34, 8,

5 ´

248

Лекция 17. Двойные интегралы

1+x2

My =

xdy =

x + x3

dx =

2 +

90 ¡

= ³

´ =

29, 25

Тогда

x¤ = 29, 25 = 2, 4375, y¤ = 34, 8 = 2, 9:

17.5.3.

Вычисление площади

поверхности.

Пусть

задана

поверх-

ность

z = f(x, y), площадь

которой

обозначим символом S, ðèñ.17.6. Ïðî-

екцию этой поверхности на координат-

ную плоскость xOy обозначим симво-

ëîì G. Разобьем область G произволь-

ным образом на n частей. В каждой

из них, площадь которых ¢gi âûáå-

рем произвольно точки с координата-

ìè (xi

, yi). На поверхности этой точке

и участку ¢gi будет соответствовать

Ðèñ. 17.6.

точка zi и часть поверхности ¢si. Ïðî-

ведем в точке (xi, yi, zi) касательную

плоскость ¾

fx0 (xi, yi) (x ¡ xi) + fy0 (xi, yi) (y ¡ yi) ¡ (z ¡ zi) = 0:

На этой плоскости выделим участок ¢¾i , проекцией ко- торого на плоскость G является участок ¢gi. В точке

(xi, yi, zi) проведем вектор нормали n, который имеет координа-
òû ffx0 (xi, yi), fy0 (xi, yi), ¡1g.
Составим интегральную сумму
			n
			Xi	¢si
			J(f) =	¢si		:
ãäå °i угол между P		=1			n		oz
ãäå °i угол между P					n		oz
Тогда предел lim	n	¢si = S. С другой стороны ¢gi = ¢¾i cos°i,
Тогда предел lim		¢si = S. С другой стороны ¢gi = ¢¾i cos°i,
n!1 i=1
	вектором нормали					è îñüþ .
cos°i	= q1 + (fx0 (xi, yi))2 + ¡fy0 (xi, yi)¢2 :
				1

17.7. Методические указания по решению задач

249

Принимая во внимание то, что lim ¢¾i

=¢si , получим

¢g

n!1

i=1

= i=1 q1 + (fx0 (xi, yi))2 +

fy0 (xi, yi) ¢gi

cos°i

= ZZ

1 + (fx0 (x, y))2 + fy0

(x, y)

dg =

= ZZ q

1 + (fx0 (x, y))2 + fy0

(x, y)

dxdy:

17.6.Контрольные вопросы

1.Дайте определение двойного интеграла.

2.Перечислите основные свойства двойного интеграла.

3.Сформулируйте условия интегрируемости функций.

4.Как осуществляется замена переменных в двойном инте-

грале?

5.Как осуществляется вычисление двойного интеграла?

6.Обоснуйте преобразование двойного интеграла в повтор-

íûå.

7.Как вычислить объем пространственной фигуры с помощью двойного интеграла?

ðû?8. Как вычислить координаты центра тяжести плоской фигу-

17.7.Методические указания по решению задач

Пример 17.5. Изменить порядок интегрирования:
p			p						2¡p
				4¡x2		0				4¡x2
	3			4¡x2		0				4¡x2
¡Z2		dx		Z	f(x, y)dy+	Z		dx	Z		f(x, y)dy:
¡			0			¡p	3		0

Решение: Пîстроим область S1, ограниченную линиями x = ¡

¡2, x = ¡p3 , y = 0, y = p

4 ¡ x2

. Область S2 îãðаничена ли-

ниями

;

x =

y =

0 è

y =

¡ x

2 . Последняя

x = ¡

представляет собой нижнюю часть окружности с центром в точке D(0,2) и радиусом 2. Покажем эти области на рис.17.7.

. Вычислить

2¡ Z4¡x2

250

Ðèñ. 17.7.

+dx

¡p3

Пример 17.6.

=1,

Ðèñ. 17.8.

12ye6xydxdy

Лекция 17. Двойные интегралы

Полученная

область

S = S1 [ S2 îãðà-

ничена кривыми x = '1(y) = ¡

4 ¡ y2 ,

(y) = ¡

y ¡ y

2 ,

y =

x = '

p y =

причем

на отрезке [0;1] функ-

всюду p

öèè

'1(y)

'2(y) непрерывны

'1(y) 6 '2(y). Поэтому для нового по-

рядка интегрирования обойдемся одним

интегралом. Имеем

4¡x2

¡Z2

f(x, y)dy+

¡p

4y¡y2

f(x, y)dy = Z dy

f(x, y)dx:

(54x2y2 + 150x4y4)dxdy; D: x=

y=x3,

¡p

Решение. Изобразим область интегриро-

вания на рис.17.8. При x 2 [ 0; 1]

функции

y1 = ¡p

è y2 = x3 непрерывны и y1 6 y2.

Расставим пределы интегрирования в по-

вторном интеграле и вычислим его

1 dx

x3 (54x2y2 + 150x4y4)dy =

¡Rx

(18x2y3 + 30x4y5) ¯¡x3p

dx =

= (18x11 + 30x19 + 18¯ x2

+ 30x 2 )dx =

= (3x12 + 3x20 + 4x2 + 4x 2 ) 1 = 11 :

Вычислить

Пример 17.7.

; D : y = ln 3, y = ln 4, x = 1, x = 1:

Решение:

Область интегрирования представляет собой прямоугольник.

17.7. Методические указания по решению задач

251

Расставим пределы интегрирования в повторном интеграле и
вычислим его:				Z3 dy 1Z6 e xyd(6xy) = 2 Z3 e xy ¯						ln 3 dy =
Z3 dy	1Z6 12ye xydx = 2			Z3 dy 1Z6 e xyd(6xy) = 2 Z3 e xy ¯						ln 3 dy =
ln 4	1=3			ln 4	1=3		ln	4		ln 4
		6			6			6	¯	ln 4
			ln 4						¯
ln	=			ln	=		ln		¯
		¡2 Z3 (e y ¡ ey)dy = (e				y ¡ 2ey)	ln 3 =
			ln		2	¯	ln 4
			2		2	¯	ln 4
	2 ln		ln	2 ln	ln	¯
	= e	4 ¡ 2e 4 ¡ e			3 + 2e 3 = 16 ¡ 8 ¡ 9 + 6 = 5:

Пример 17.8. Найти площадь фигуры, ограниченной данными

линиями

+ y

12,

= y

(x >

Решение: Данная фигура получается

ïðè ïå-

ресечении окружности радиуса R = 2p2

è ïà-

раболы с осью симметрии Ox: Из уравнения

параболы, возводя в квадрат обе части, име-

åì 6x2 = y4. Точки пересечения линий, огра-

ничивающих область, определятсÿ из уравнения

12. Получим

6 . Â ñèëó ñèì-

+ y

y = §

метрии областè èíтегрирования имеем

p12¡y2

Ðèñ. 17.9.

S = 2

p16 y2

dx = 2 0

(p12 ¡ y2 ¡ p6 )dy =

= 2(y 12 ¡ y2

¯0

6 +

dy¡

6 12p y2

¯0

6 ) = 2(¯6

¡ ¡

2) =

¡3p6

¡ 0

12 ¡ y2

= 2(4

y2 dy + 12

dy) =

¡ y

12 ¡ y2

2 + 3¼ êâ åä

(

arcsin

¯0

) =

Пример

17.9. Пластинка¯

D задана неравенствами, ¹

поверхностная

плотность. Найти

массу

пластинки, рис.

17.10.D :

1 6

+ y2 6 3,

x > 0,

y >

¹ =

, ðèñ.17.9.

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3325 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2019611 Кб11Luigi Pirandello_Il fu Mattia Pascal.doc
#
12.04.20152 Мб56makeeva3английсский тех перевод.pdf
#
12.04.20153 Мб21Manual.pdf
#
26.09.2019108 Кб9marketing_ekzamen.doc
#
11.11.2019231 Кб15Markets Дроздова.doc
#
15.03.20162 Мб25matanaliz.pdf
#
12.04.20151 Мб46matrialka_otvety.docx
#
19.11.2019851 Кб20meeting people (2).docx
#
12.04.2015648 Кб20mehanika1980.pdf
#
12.04.2015424 Кб102MEKhANIKA_FIZIKA.doc
#
12.04.20153 Мб10MetodDB.pdf