Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Астраханский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3320 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

192	Лекция 13. Некоторые способы интегрирования

Под интегралом неправильная дробь. Поэтому выполним деление

t4 + 2t3 + 3t2 + 2t + 1

8t3 + 12t2 + 6t + 1

t4 + 3t3 + 3t2 + 1t

¡ µ

1t3 + 9t2 + 15t + 1

µ 2

¡1t3 + 3t2 + 3t + 1 2 4 8 16

3t2 + 3t + 15

Тогда получим 2

dt = Z ³4t +

8´dt+ Z

(2t + 1)3

dt =

2 Z ¡ (2t + 1)3¢

t2 + t + 1

t2 + 3t + 15

= 8

¡t

+ t¢ + Z µ(2t + 1)3

¶dt:

+ (2t + 1)2

+ 2t + 1

Определяем неизвестные коэффициенты

A + B (2t + 1) + C (2t + 1)2 = 3t2 + 3t + 15:

Ïðè

9. Если раскрыть скобки, то получим

t = ¡

=) A = 8

4Ct2 + (2B + 4C) t + (A + B + C) = 3t2 + 3t + 15:

Получаем систему уравнений для определений искомых8коэффи-

циентов

(

B + C =

) ( B = 0:

4C = 3,

C =

Таким образом, имеем

µ8 (2t + 1)3

+ 4 (2t3+ 1)¶dt =

Z p

dx =

8 ¡t

+ t¢

+ Z

x + x +

¡t

+ t¢ ¡

t +

j + C =

32 (2t + 1)22

8ln j

= 8 µ³x + p

+ x + p

¶¡

x2 + x + 1

13.7. Методические указания по решению примеров

193

¯2

¡32 2 x + x29+ x + 1 + 1

2 +

8ln

x + x + x + 1 + 1¯ + C:

³ ³ p

Пример 13.17.

Вычислить R

. Выделим полный

x dx

квадрат

Z p

dx = Z q

dx =

4 ¡ (x + 1)2

3 ¡ 2x ¡ x2

= ¯

x + 1 = 2sint

dx = 2costdt

= 4

sin2t costdt = 4

cos2tdt =

t = arcsin

x +

´ ¯

= 2

(1 + cos¯

2t) dt = 2t + sin2t + C =

= 2arcsin ³

+ 1

´ + sin

³2arcsin ³

x + 1

´´ + C:

Пример 13.18. Вычислить

q1 + px

dx:

от биноминального дифференциала.

Решение. Это интеграл R

m + 1

данном

случае

m = ¡

n =

p =

¡ (1=2) + 1

= 2:

Имеем второй случай.

1=4

3t2dt:

1 + x4

= t3, x = t3 ¡ 1

, dx = 4

t3 ¡ 1

В результате подстановки¡ в исходный¢

интеграл,¡

получим¢

t ¡t3 ¡ 1¢

Z x¡21 ³1 + x4

´3 dx = 12 Z ¡t3 ¡ 1¢¡

t2dt =

= 12 Z

t3 ¡ 1 t3dt = 12 µ

¶ + C =

¢ ¡

3 3

¢ + C:

q3 ¡1 + px

q¡

+ px

Пример 13.19. Вычислить

q1 + px

d x.

Решение. Это интегралRîò xбиноминального¢

дифференциала.

Перепишем интеграл в виде R x¡57

´5 d x и сравним его с

³1 + x3

7 Цыкунов А. М.

194

Лекция 13. Некоторые способы интегрирования

m +

1 целое число.

p =

1. Вычислим

m + 1

= ¡

x (a + b x )

d x m = ¡

n = 3

не целое число, далее

+ p = ¡5

+ 5

= ¡

Получился третий случай. Выполним подстановку x¡31 + 1 = t5,

x = (t5 ¡ 1)¡3, d x = ¡3 (t5 ¡ 1)¡4 ¢ 5 t4d t = ¡15 t4(t5 ¡ 1)¡4d t:

Z x¡57

d x = Z x¡57

d x =

1 + x3

x3 x¡31 + 1

´´

= Z x¡57 ¢ x15

³x¡31 + 1´5 d x = = Z x¡34 ³x¡31 + 1´ 5 d x =

= Z

t5 ¡ 1

¡3

¡34

¢ t ¢ (¡15) t4 ¢ t5 ¡ 1

¡4 d t =

³¡

4 ¢

15 t

= ¡15 Z ¡t5 ¡ 1¢ ¢ t5 ¡t

5 ¡ 1¢¡

d t = ¡15

Z t5d t = ¡

+ C =

= ¡

= t = x¡31 + 1 = ¡

x¡

+ C:

2 t

13.8. Примеры¯

для самостоятельного¯

решения

sin 6 x cos 7x d x.

cos 3 x

cos 9 x d x.

R sin 2 x ¢¢

sin 5 x d x.

R cos 3 x ¢¢

sin 5 x d x.

R cos 6 x ¢ cos 8 x d x.

R sin 3 x ¢ sin 7 x d x.

R sin3 x d x.

R cos5 x d x.

R cos2 x

sin3 x d x.

10.R

sin2 x

cos5 x d x.

11.R.

12.

d x

sin x.

cos x

13.

d x.

14.

d x

2 sin x + 3

15.

+ cos xd x

R cos4x +

cos

x d x

2 sin x

16.

17.

R sin2 x

¡cos2 x d

¡x.

18.

R sin4 x

cos2 x d x.

19.

R tg4x d¢x.

20.

R tg3x d¢x.

21.

R ctg3x d x.

22.

sin x

23.

cos x

13.8. Примеры для самостоятельного решения

195

24.

1 + sin x

dx.

25.

sin x (1 + cos x)

4 5 sin x

cos¡ xdx

26.

5 + 4 sin 2x

27.

1 + cos x

28.

4 sin x + 7 cos x.

29.

5 + 4 sin x + 3 cos x.

¡sin x .

31.

sin x + cos x .

30.

2 + cos x

3 + sin 2x

32.

3 cos2 x + 4 sin2 x.

33.

sin2 x

4 sin x cos x + 5 cos2 x.

cos2 x

¡7

34.

dx.

35.

cos 2

x´dx.

sin2 x ¡ tg2x

36.

R sin4 3x dx.

37.

R sin2 x

cos4 xdx.

R cos4 x

sin3 x¢

38.

sin3 xdx.

39.

dx.

cos x

cos3 x

40.

dx.

41.

sin4 x

cos3 2x.

42.

sin3 x

dx.

cos x

sin3 x.

43.

1 + cos2 x

44.

R sin

cos

dx.

45.

R sin 4x

sin 6xdx.

¢ .

46.

47.

R ctg4xdx

R ctg

xdx

48.

49.

dx.

1 + px

¡ x2

50.

R xp

1¡+ x4

dx.¢

51.

¡p

2¢dx.

1 + px

x¢

4 + p

52.

x5(1 + x2)3 dx.

53.

dx.

px2

2 .

54.

55.

(1 + px )3 dx.

q3 1 + 3px dx

2 ¡ px

57.

56.

R x2 3 (1 + x3)2

dx.

59.

q dx

58.

R px

5 .

x +dxx ¡

¡dxx +

60.

61.

2x2

x + 3

3x2

(3x

¡2)dx

(5x¡+ 11¡)dx

62.

63.

x2 ¡ 7x + 8

6x ¡ x2 ¡ 5

196

Лекция 13. Некоторые способы интегрирования

Ответы

2 ³1

+ C.

cos x ¡

cos 13x

+ C

sin

x +

sin 12x

³3 1

¡ 7

+ C.2

³1

sin 3x

1 sin 7x

+ C.

¡1 cos 8x ¡ 1 sin 2x

+ C.2 ³

+ C2.

³4

sin 2x +

sin 44x

sin 4x

sin 10x

cos3 x

¡ cos x + C

sin x ¡

3 sin

x +

5 sin

x +

+ C.

10.

5 cos

x ¡

3 cos

x + C

3 sin

5 sin

+ 1 sin7 x + C.

11. 2 p

³1 ¡ 5 sin

x´ + C

+ C

sin x

12.

arctg

2 tg

¡ 1

13. x ¡ tg

+ C.

14. arctg ³1 + tg

´ + C.

2 ln

+ C

x + sin 2x + 1 sin 4x

15. 1

2tg

16.3

+ C.

17.

sin

x + C

8x ¡

1 tg³3

20.

1 tg´2

18.

x ¡

4 sin

x ¡

4 sin

x +

sin

+ C

19. 3

x ¡

x + x + C

x + ln j cos x j + C

tg2

x ¡ ln j sin x j + C

21. ¡2 c

22. ln

¯tg

¯¼+ Cx.

23. ln

¯tg

+ C. 24. 1tg2

+ tg

+ 1ln

+ C.

¯4

´¯

2tg

1arctg 5tg x +

¯27.

25. 1

+ C

26.

x ¡

¯ln

2tgx

¯¯

+¯

tg x

+ C

										13.8. Примеры для самостоятельного решения																																																																197
						ln ¯tgx																	3	¯		+ C																						¡ tgx									+ 2.30.														ln (					+ cos x) +
										¯		tg				x					¡ 5			¯
	28.											tg				2															.			29.								Ñ													1																		2
	28.															2															.			29.								Ñ																															2
																				¡
																2				¡																																		2
										¯														¯x
+	4			arctg¯											1							tg¯							+ C					.
	4			arctg¯											1																			.
										¯														¯
	p3											µp3												2			¶																							1			+								1								x + C.							35.					1x +
	33.					arctg¯ (tg x																					2) + C¯. 34.																							1			+								1								x + C.							35.					1x +
	31.					1 ln							sin x ¡ cos x + 2																										+ C. 32.																1					arctg									2tgx				+ C.
					4							¯sin x ¡ cos x ¡ 2																							¯																			2p3															p3
												¯											¡												¯																												¡																		2
												¯											¡												¯												3tg3x													tgx			¡																		2
+		1	sin 7x + C.
+			sin 7x + C.
	14																		1															1																																		1											1
						3													1							6								1										12													.			37.								1											1
	36.					3													12 sin							6		x +					96 sin											12					x + C								.			37.							16x +																	¡
	36.					8x ¡													12 sin									x +					96 sin																x + C																		16x +									64 sin 2x								¡
¡	1		sin			4		x ¡							1								sin				6		x + C							.
¡		64	sin					x ¡							192								sin						x + C									. 39. 1																	2							3												8			ln j cos x ¡
		38. C ¡										1										5							1					7				. 39. 1																	2							3												8
		38. C ¡										5 cos											x +						7 cos									x											2 cos								x +								cos x +
¡ 3j + C.															1									1						+ C.																			¯				+ sin x									¯									sin			2	x
		42. ln tgx													1									1						+ C.																			¯				+ sin x									¯									sin				x
	40.																																									1							¯		1											¯					1															.
					C ¡ 3 sin3 x																				+ sin x.41.																	8 ln							¯		1 ¡ sin x											¯		+					4 cos2 2x + C
								j							j ¡																																		¯													¯
								j							j ¡								2 sin2 x																										¯													¯				x								6						7x
		43. cos x ¡ 2arctg(cos x) + C.44. C ¡ 6 cos																																																												¡			7 cos							12 .
		43. cos x ¡ 2arctg(cos x) + C.44. C ¡ 6 cos																																																							12					¡			7 cos							12 .
					1								2										1							10														.46. 1												3																							.
	45.					4 sin									x ¡											sin							x + C																			3tg						x ¡ tgx + x + C
	45.					4 sin									x ¡									20		sin							x + C																			3tg						x ¡ tgx + x + C																							3/2
	47.																						1															1															1											4						.	48. 2
	47.					C ¡											16 sin4 4x +																4 sin2 4x +																				1											4		xj				.	48. 2
						C ¡											16 sin4 4x +																4 sin2 4x +																				4 ln j sin													xj													3x					+
+ 24x11/6 + 36x13/6 + 8x5/2 +																																											6				x17/6 + C.
+ 24x11/6 + 36x13/6 + 8x5/2 +																																															x17/6 + C.
	11												13																5													17
+ C49..							2 ¡ x2															+ C. 50.																							p														+ 1 ln x2 + p																								¯	+
							2 ¡ x2																												1x2														1 + x4																													1 + x4
																																			1x2														1 + x4																													1 + x4
									1 ¡ x2																										4							¢																			4						¯
						6p																																													6																¯																¯
						6p																																													6																¯																¯
							p																																											px
	51.						p						5									4	px +							18 6																			3	px											21 arctg 6																				.
								6							¡																																1 + px										¡
						5									¡																																1 + px										¡
																							11/3																								8/3				3																				5/3
	52.					3					1										2								¡		3 1											2									3				3					1							2												.
						3																																																	3

					22				(				+ x )											3/2							8	( + x														)					+ 10								(			+ x )											+ C
					22																										8																				+ 10
	53.				2				4 + px																				+ C			.
									³						3													´	7/3			.																									´			4/3

	54.				14																3p												¡ 8									/4									p
						1						1									3p																														p
						1																	3			2												1				1							3 3						2															.
							¡							+									¢x																		(				+								x										+ C
	55.					8			(7p												¡ 4) (1 + p																			)7							+ C.
						8												x																			x
					77													x																			x
					77																																												3/2.
	56.				C ¡ 5										¡							+				px ¢(							2					¡px ¢											3/2.
												2			4									3 3									2								3

198

Лекция 13. Некоторые способы интегрирования

¡ p x

¡8

¯x + 2 + p7

57.

1 + x3

+ C. 58.

1 ln x2 + 4x

+ ln

x + 2 ¡ p

+ C.

59. ln

1¯

x ¡ 2 + p

+ C.

x2 ¡ 4x + 5

+ C.

60.

ln x

1 +

p2x¯2 x + 3

p¯

¡ 4

61.

x + 1

+ C.

arcsin¯

62.

x +

ln ¯ x ¡ 2

x +

+ C

x ¡

63.

5p6x

5 + 26¯

arcsin

Ë å ê ö è ÿ 14

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

14.1. Понятие определенного интеграла

Пусть задана непрерывная функция y = f(x) на отрезке [a, b].

Разобьем этот отрезок на n сегментов [xi¡1, xi] не совпадающими друг с другом точками a = x0 < x1 < ¢¢¢ < xn = b. Обозначим

это разбиение символом Tn.
Возьмем на каждом сег-
менте [xi¡1, xi		] произволь-
ную точку zi, и обозначим
символом	¢xi	= xi ¡ xi¡1
длину отрезка [x			1, x ] .
Определение i¡			i14.1.
Число	n

	Xi
JT (f) =		f(zi)¢xi
	=1
называется интегральной
суммой,	соответствую-			Ðèñ. 14.1.
щей данному разбиению Tn

и данному выбору точек zi

Обозначим через ¢ максимальную длину имеющихся отрез-

êîâ [xi¡1, xi]

¢ = maxf¢x1, ¢¢¢ , ¢xng:

Очевидно, что интегральная сумма численно равна площади ступенчатой фигуры на рис. 14.1. Ясно, что эта площадь зависит от способа разбиения и выбора точек zi 2 [xi¡1, xi] Если увели-

чивать количество точек в разбиении отрезка [a, b], то величина

площади ступенчатой фигуры будет приближаться к площади криволинейной трапеции, заключенной между осью абсцисс и графиком функции y = f(x).

Определение 14.2 Функция y = f(x) называется интегрируемой по Риману на отрезке [a, b], если существует такое

200 Лекция 14. Определенный интеграл

число I, что для любой последовательности разбиений от-

резка [a, b] и любого выбора точек zi 2 [xi¡1, xi] выполняется
равенство	n
	Xi
lim	f(zi)¢xi = I:	(14.1)
4!0	=1

Этот предел называется определенным интегралом и обозна-
чается	n				b
	X	f(z	)¢x	=	a
	lim	f(z	)¢x	=	f(x)dx:	(14.2)
	4!0 i=1	i		i	Z

Следует отметить, что n !		1 , ¢ ! 0. Поэтому можно запи-
ñàòü		b
lim J		(f) = f(x)dx:
n!1	T	Za

Часто удобнее пользоваться эквивалентным определением.

Определение 14.3. Число I называется определенным интегралом функции y = f(x) на отрезке [a, b] ,если для любого числа " > 0 и любого разбиения Tn и выбора точек

zi 2 [xi¡1, xi] существует число ±(") > 0 такое, что из неравенства j¢j < ±(") следует

¯ n	f(zi)¢xi ¡ I		¯	< ":
¯i=1			¯
¯X			¯		[a, b] функция y =
Теорема 14.1. Неограниченная¯		на сегменте¯			[a, b] функция y =
¯			¯

=f(x) не интегрируема.

Äо к а з а т е л ь с т в о. Так как функция неограниченна, то при любом способе разбиения отрезка [a, b] найдется отрезок

[xk¡1, xk], на котором она будет неограниченна. Тогда слагаемое f(zK)¢xk можно сделать сколь угодно большим путем выбора значения zK. Следовательно, интегральная сумма при таком выборе zK не ограничена, а значит она не будет иметь конечного предела.¤

14.2. Верхние и нижние интегральные суммы Дарбу.

Пусть функция f(x) ограничена на отрезке [a, b]. Осуще-

ствим разбиение этого отрезка на n сегментов [xi¡1, xi] не совпадающими друг с другом точками a = x0 < x1 < ¢¢¢ < xn = b. Обозначим это разбиение символом Tn. Обозначим символами

14.2. Верхние и нижние интегральные суммы Дарбу.

201

Mi è mi точные верхние и нижние грани этой функции на
частичных сегментах [xk¡1, xk]
Суммы	n	n

	ST = Mi¢xi, sT = mi¢xi
	=1	i=1
	Xi	X

называются верхней и нижней суммами Дарбу. Эти суммы численно равны площадям ступенчатых фигур. Из рис.14.2 следует ST > sT . Знак равенства имеет место, если функция является горизонтальной прямой.

14.2.1. Основные свойства верхних и нижних сумм..

Будем рассматривать только те свойства, которые нам понадобятся при изучении данного курса.

1. Для любого фиксированного разбиения T è 8" > 0 промежу-

точные точки zi 2 [xi¡1, xi] можно выбрать так, что будет справедливо одно из неравенств

0 6 ST ¡ JT (f) < " 0 6 JT (f) ¡ sT < "

Кроме того, sT 6 JT (f) 6 ST
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò			Ðèñ. 14.2.
в о. Докажем справедливость пер-			Ðèñ. 14.2.
в о. Докажем справедливость пер-
вого неравенство. По определению
точной верхней грани, для	8"	> 0
	8"	"

9zi 2 [xi¡1, xi]: Mi ¡ f(zi) < b ¡ a. Умножая обе ÷àñòи неравен-

ñòâà íà ¢xi и складывая все неравенства при i = 1, n, получим

n	n
X	Xi
	Mi¢xi ¡ f(zi)¢xi < ":
i=1	=1

Справедливость неравенства sT 6 JT (f) 6 ST следует из нера-
венств	0 6 ST ¡ JT (f), 0 6 JT (f) ¡ sT :

Справедливость второго неравенства доказывается аналогично.

2. Если разбиение T1 > T т. е. количество частичных сегментов при разбиении T1 больше, чем при T , òî sT1 >

>sT , ST1 6 ST .

Äо к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать это свойство, когда к разбиению T добавляется одна точка, в результате

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3320 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2019611 Кб11Luigi Pirandello_Il fu Mattia Pascal.doc
#
12.04.20152 Мб56makeeva3английсский тех перевод.pdf
#
12.04.20153 Мб21Manual.pdf
#
26.09.2019108 Кб9marketing_ekzamen.doc
#
11.11.2019231 Кб15Markets Дроздова.doc
#
15.03.20162 Мб25matanaliz.pdf
#
12.04.20151 Мб46matrialka_otvety.docx
#
19.11.2019851 Кб20meeting people (2).docx
#
12.04.2015648 Кб20mehanika1980.pdf
#
12.04.2015424 Кб102MEKhANIKA_FIZIKA.doc
#
12.04.20153 Мб10MetodDB.pdf