1. Законы Ома для участка цепи

   1. Закон Ома в интегральной форме

Немецкий физик Георг Ом в 1826 году экспериментально установил, что сила тока, протекающего по металлическому проводнику прямо пропорциональна разности потенциалов (напряжению) на концах проводника:

I =   (₁ – ₂) = U. (6.8)

Коэффициент пропорциональности, связывающий силу тока в проводник и напряжение — , называется электрической проводимостью. Величина, обратная проводимости — электрическое сопротивление проводника . Сопротивление зависит от материала проводника, его формы, размеров и состояния. Например, сопротивление цилиндрического проводника (проволоки):

. (6.9)

Здесь:  — удельное сопротивление вещества, из которого сделан проводник;

l и S — длина и площадь поперечного сечения проводника.

Сопротивление измеряется в омах. 1 Ом — это сопротивление такого проводника, в котором течёт ток I = 1 А при напряжении U = 1 В:

.

Удельное сопротивление  в системе СИ измеряется в Ом  м:

.

Удельное сопротивление вещества  зависит от температуры. В не слишком широком диапазоне температур удельное сопротивление многих проводников является линейной функцией температуры:

 = ₀(1 + t). (6.10)

Здесь: ₀ — удельное электрическое сопротивление вещества при 0С;

 — температурный коэффициент сопротивления.

Для всех чистых металлов  =  0.037, то есть температурный коэффициент их удельного сопротивления близок к температурному коэффициенту расширения идеальных газов. Температурный коэффициент сопротивления проводников I рода (металлов) _I > 0, а II рода (электролитов) _II < 0. Это означает, что с понижением температуры удельное сопротивление металлов уменьшается, а электролитов — растёт.

При температурах близких к абсолютному нулю (0.2  20 К) сопротивление многих металлов и их сплавов скачком уменьшается до нуля. Это состояние вещества называется сверхпроводящим. Впервые явление сверхпроводимости было обнаружено для ртути в 1911 году голландским физиком Камерлинг-Оннесом.

Не так давно обнаружено сверхпроводящее состояние ряда керамических материалов, которое наступает при достаточно высоких температурах ~100 К («высокотемпературная сверхпроводимость»).

Рассмотренный закон пропорциональности тока в проводнике и напряжения:

(6.11)

называется законом Ома в интегральной форме. Он позволяет вычислить ток, текущий в цилиндрических проводниках. Но как быть, если электрический ток течёт, например, в электропроводящей среде, заполняющей пространство между обкладками сферического или цилиндрического конденсатора? В подобных случаях на помощь приходит другой закон Ома, к изучению которого мы и приступаем.

2. Закон Ома в дифференциальной форме

Представим себе электрический ток не в привычном для нас проводнике, а однородной изотропной проводящей среде. В своём направленном движении носители заряда перемещаются по траекториям, которые называются «линии тока». Выделим в среде небольшую поверхность S. Линии тока, коснувшиеся границы этой поверхности, в дальнейшем вырезают в пространстве «трубку тока» (рис. 6.4.). Особенность этой трубки состоит в том, что заряженные частицы, движущиеся внутри трубки тока, не пересекают её боковую поверхность, то есть они никогда не покидают свою трубку тока.

Рис. 6.4.

Выделим в трубке тока два эквипотенциальных сечения S₁ и S₂, отстоящие друг от друга на расстоянии l (рис. 6.5.). Потенциалы этих сечений ₁ и ₂ = ₁ + . Для выделенного элемента трубки тока запишем закон Ома (6.11):

.

Рис. 6.5.

Сократив S и введя удельную электропроводимость  = , получим:

.

Этот результат становится совсем точным, если перейти к пределу, устремив l к нулю. Тогда S = S₁ = S₂, так как трубка становится цилиндрической. Кроме того:

. (6.12)

Учитывая этот результат, плотность тока запишем так:

i = E,

или в векторном виде:

. (6.13)

Уравнение (6.13) — математическая запись закона Ома в дифференциальной форме. В этом законе связываются две «локальные» характеристики тока: плотность тока в любой точке пространства и напряжённость электрического поля в той же точке. В соответствии с этим законом, плотность электрического тока прямо пропорциональна напряжённости поля в рассматриваемой точке пространства.

В приведённых рассуждениях есть момент, который не может не настораживать: в законе (6.13) Е — напряжённость электрического поля в проводящей среде с током. А для вычисления этой характеристики мы воспользовались связью напряжённости и потенциала электростатического поля в вакууме (6.12). Однако можно показать, что напряжённость электрического поля внутри однородной проводящей среды совпадает с электростатическим полем, которое существует в вакууме, если обеспечивается то же пространственное распределение потенциала, что и в проводящей среде при наличии тока (см., например, [2]).

Теперь на примере расчёта тока утечки в сферическом конденсаторе покажем, как используется закон Ома в дифференциальной форме для решения вполне реальных задач.