1. Собственные электрические колебания

Колебания осциллятора бывают собственные и вынужденные. Мы начинаем с рассмотрения собственных электрических колебаний, когда осциллятор, будучи выведен из положения равновесия, далее предоставлен самому себе.

1. Собственные незатухающие колебания

Такие колебания возникают в электромагнитном колебательном контуре, если его сопротивление R равно нулю (рис. 11.3.).

Рис. 11.3.

Сначала зарядим конденсатор С, затем, перекинув ключ К в положение 2, замкнём его на катушку индуктивности L. Начнётся разряд конденсатора. Запишем уравнение правила напряжений Кирхгофа:

–U_C = ^СИ.

Здесь U_C = — напряжение на конденсаторе; ^СИ = = = — э.д.с. самоиндукции; I = = — ток в контуре.

Учитывая последние соотношения, перепишем уравнение Кирхгофа в виде:

;

. (11.1)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка — дифференциальное уравнение собственных незатухающих электрических колебаний. Решением этого уравнения является следующая гармоническая функция:

q = Acos(₀t + ). (11.2)

Проверить это утверждение проще всего методом подстановки:

. (11.3)

(11.2) и (11.3) подставим в (11.1):

.

Это уравнение становится тождеством, если .

Но ₀ — частота колебаний. Следовательно, частота собственных незатухающих колебаний гармонического осциллятора:

. (11.4)

Постоянные А и  в решении (11.2) определяются из начальных условий колебательного процесса. Пусть в момент запуска часов (t = 0) q(0) = q₀, а ток в цепи отсутствует I(0) = 0. Это означает, что (см. 11.2):

q(0) = Acos = q₀ и

.

Из последнего выражения заключаем, что  = 0, а из предпоследнего, что A = q₀.

Окончательно закон изменения заряда конденсатора во времени (11.2) принимает следующий вид:

q = q₀cos(₀t).

Ток в цепи при этом меняется так:

. (11.5)

Колебания тока в цепи и заряда конденсатора происходят с одинаковой частотой ₀, но колебания силы тока отстают по фазе на .

В выражении (11.5) I₀ = q₀₀ — амплитудное значение силы тока.

Графики зависимостей q = q(t) и I = I(t) приведены на рис. 11.4.

Рис. 11.4.

2. Собственные затухающие колебания

Собственные затухающие колебания происходят в колебательном контуре RLC (рис. 11.1. и 11.5.).

Рис. 11.5.

Эти колебания можно описать следующим дифференциальным уравнением (правило напряжений Кирхгофа):

IR – U_C = ^СИ. (11.6)

Здесь по-прежнему: I = ; U_C = ; ^СИ = = = .

Учитывая эти соотношения, уравнению (11.6) придадим следующий вид:

;

. (11.7)

Здесь  = — коэффициент затухания; = — частота собственных незатухающих колебаний.

Уравнение (11.7) — дифференциальное уравнение собственных затухающих электрических колебаний.

Если в системе , то решением этого уравнения является следующая функция:

q = Ae^–tcos(t + ). (11.8)

Здесь А и  — постоянные, которые можно найти, воспользовавшись начальными условиями, а частота колебаний:

. (11.9)

Убедиться в том, что функция (11.8) действительно является решением дифференциального уравнения (11.7), каждый может самостоятельно, подставив (11.8) в (11.7).

Важной характеристикой затухающего процесса является логарифмический декремент затухания — логарифм отношения амплитуд двух соседних колебаний (рис. 11.2б):

. (11.10)

Логарифмический декремент затухания равен произведению коэффициента затухания  на время одного полного колебания (период) Т.

Процесс затухания колебания до нуля продолжается бесконечное время, поэтому условно принято считать, что процесс затух, если амплитуда колебаний уменьшилась в е раз.

Вычислим, сколько же колебаний N_e произойдёт, пока амплитуда уменьшится в е раз?

Отсюда следует, что N_eT = N_ed = 1.

Или:

и .

Логарифмический декремент затухания d обратен числу колебаний, по истечению которых амплитуда падает в е раз.

В радиотехнике для энергетической характеристики затухания часто используют величину, которая получила название добротность контура:

. (11.11)

Покажем, что добротность с точностью до 2 равна отношению энергии Е, запасенной в контуре, к убыли энергии за один период (–Е):

.

Энергия, запасенная в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды заряда конденсатора:

.

Относительная убыль энергии за период равна:

.

При малом затухании (когда d << 1) можно приблизительно принять, что:

e^–2d = 1 – 2d.

Тогда относительная убыль энергии:

,

или

. (11.12)

Мы рассмотрели затухающие колебания при малом затухании, когда .

Если затухание столь значительно, что ²  , то в этом случае вместо колебательного процесса происходит апериодический разряд конденсатора (рис. 11.2.г). Переход от периодического к апериодическому разряду происходит при критическом сопротивлении R_к, которое можно найти из условий апериодичности:

;

;

. (11.13)

Величина критического сопротивления зависит только от величины индуктивности и ёмкости колебательного контура.