1. Магнитное поле прямолинейного тока

Ток I течёт по бесконечному прямолинейному проводнику. Вычислим индукцию магнитного поля этого тока на расстоянии l от проводника (рис. 8.6.).

Рис. 8.6.

Элемент тока создаёт в рассматриваемой точке магнитное поле:

.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости рисунка от нас (правило буравчика).

В скалярной форме это уравнение можно записать так:

. (8.6)

Для отыскания полного поля в точке А нужно просуммировать вклады всех элементов данного тока, то есть, рассмотреть интеграл:

.

Как следует из рисунка:

, .

Используя эти данные в (8.6), получим:

.

Теперь при сложении этих вкладов, то есть, при интегрировании, будет меняться только угол  в пределах от 0 до :

. (8.7)

Вектор магнитной индукции поля прямолинейного тока пропорционален величине тока I и обратно пропорционален расстоянию b от проводника до рассматриваемой точки.

Магнитное поле, также как и электростатическое, принято представлять графически магнитными силовыми линиями. Как и прежде, это, в общем случае, кривая, касательные к любой точке которой совпадают по направлению с векторами магнитной индукции в данных точках (рис. 8.7.).

Рис. 8.7.

Густота магнитных силовых линий равна значению индукции в данной области пространства.

«Густота» — это число силовых линий, проходящих через единичную поверхность, ориентированную перпендикулярно магнитному полю.

Поле прямолинейного тока обладает цилиндрической симметрией. Его силовые линии — окружности с центром на оси тока (рис. 8.8.).

Рис. 8.8.

2. Магнитное поле на оси кругового тока

Теперь магнитное поле создаётся током I, протекающим по проводнику в форме окружности радиуса R. Определим магнитное поле на оси этого кругового тока в точке, отстоящей от центра круга на расстоянии r (рис. 8.9.).

Рис. 8.9.

Вновь воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Разделим круговой ток на элементы . В рассматриваемой точке на оси тока каждый такой элемент создаёт поле:

.

Учитывая, что векторы и взаимно перпендикулярны, запишем модуль dB:

.

Симметрия задачи позволяет утверждать, что искомый вектор индукции будет направлен по оси кругового контура. Поэтому складывать следует осевые составляющие векторов — dB_||:

.

Интегрирование этого выражения по кольцу радиуса R даёт:

.

В центре контура (r = 0) индукция магнитного поля будет максимальной:

.

3. Магнитное поле движущегося заряда

Используя принцип суперпозиции, решим теперь задачу в некотором смысле обратную тем, которые мы решали до сих пор.

В законе Био-Савара-Лапласа речь идёт о магнитном поле, создаваемом элементом тока . Но ведь ток — это направленное движение электрических зарядов, поэтому можно предположить, что поле элемента тока возникает как результат наложения полей, создаваемых каждым движущимся носителем заряда q₁ (рис. 8.10.).

Рис. 8.10.

Тогда поле отдельного заряда можно вычислить, разделив индукцию поля элемента тока на число носителей dN, движущихся на участке проводника dl: = .

Итак, запишем еще раз закон Био-Савара-Лапласа:

.

Здесь I = iS, где плотность тока i = q₁nV_n.

Поле элемента тока перепишем ещё раз в таком виде:

.

Векторы и совпадают по направлению, это позволяет последнее уравнение записать так:

.

Здесь dN = nSdl — число носителей заряда на участке dl проводника.

Искомое поле отдельного движущегося заряда:

.

Магнитное поле движущегося заряда перпендикулярно плоскости, содержащей векторы и .

В рассмотренной задаче вектор индукции направлен на нас, нормально к плоскости рисунка (рис. 8.11.).

Рис. 8.11.

В заключение отметим, что полученный результат многократно проверен экспериментально и подтверждён для всех случаев, когда V_n << с. Здесь V_n — скорость направленного движения носителей заряда; с — скорость света.