3. Принцип суперпозиции электрических полей

Известна сила , с которой взаимодействуют два точечных заряда Q₁ и q (рис. 1.8.). Опыт свидетельствует о том, что эта сила не изменится, если рядом появятся другие точечные заряды Q₂…Q_i…Q_N (рис. 1.9.)

Рис. 1.8.

Рис. 1.9.

Результирующая сила, действующая на заряд q,будет равна в этом случае векторной сумме отдельных сил

(1.4)

Разделив (1.4) на величину заряда q, мы придём к важному выводу:

Если поле в некоторой точке пространства создаётся отдельными точечными зарядами, то напряжённость результирующего поля равна векторной сумме напряженностей складываемых полей

(1.5)

Это правило получило название принципа суперпозиции электрических полей. Подчеркнем ещё раз, что справедливость этого принципа подтверждена экспериментально.

Принцип суперпозиции позволяет вычислить поля, созданные различными комбинациями зарядов.

1. Поле диполя

Диполем называется система двух точечных одинаковых по величине и противоположных по знаку зарядов (рис. 1.10.). Расстояние между зарядами l называется плечом диполя. Плечу приписывается направление по оси диполя от отрицательного заряда к положительному. Вектор называется электрическим моментом диполя.

Рис. 1.10.

Воспользовавшись принципом суперпозиции электрических полей, вычислим поле на оси диполя в точке А, отстоящей от центра диполя на расстоянии r  l (рис. 1.11.). Электрическое поле в рассматриваемой точке возникает как результат сложения двух полей, созданных точечными зарядами +q и –q.

Рис. 1.11.

Спроецируем это уравнение на ось диполя и воспользуемся уравнением (1.3) для напряжённости поля точечного заряда

Учитывая, что << r, окончательный результат запишем так

(1.6)

Здесь важно отметить три момента:

1. Напряжённость поля Е_А на оси диполя пропорциональна его электрическому моменту Р.

2. Поле диполя убывает с расстоянием r быстрее, чем поле точечного заряда —обратно пропорционально кубу расстояния.

3. Напряжённость поля на оси диполя Е_А совпадает по направлению с направлением плеча диполя и его электрического момента .

2. Поле бесконечно заряженной нити

Рассмотрим бесконечную нить, несущую заряд, равномерно распределённый по её длине. Заряд, сосредоточенный на бесконечно нити, конечно, тоже бесконечен, и поэтому он не может служить количественной характеристикой степени заряженности нити. В качестве такой характеристики принимается «линейная плотность заряда». Эта величина равна заряду, распределённому на отрезке нити единичной длины:

.

Выясним, какова напряженность поля, создаваемого заряженной нитью на расстоянии а от неё (рис. 1.12).

Рис. 1.12.

Для вычисления напряжённости вновь воспользуемся принципом суперпозиции электрических полей и законом Кулона. Выберем на нити элементарный участок dl.На этом участке сосредоточен заряд dq = dl, который можно считать точечным. В точке А такой заряд создаёт поле (см. 1.3)

Исходя из симметрии задачи, можно заключить, что искомый вектор напряжённости поля будет направлен по линии, перпендикулярной нити, то есть вдоль оси х. Поэтому сложение векторов напряжённости, можно заменить сложением их проекцией на это направление.

(1.7)

Рис. (1.12 b) позволяет сделать следующие заключения:

(1.8)

Таким образом

. (1.9)

Используя (1.8) и (1.9) в уравнении (1.7), получим

(1.10)

Теперь для решения задачи осталось проинтегрировать (1.10) по всей длине нити. Это означает, что угол  будет меняться от до .

(1.11)

В этой задаче поле обладает цилиндрической симметрией. Напряжённость поля прямо пропорциональна линейной плотности заряда на нити  и обратно пропорциональна расстоянию а от нити до той точки, где измеряется напряжённость.