Лекция 9 «Основы магнитостатики»

План лекции

1. Краткий обзор предыдущей лекции

2. Сила Лоренца

3. Теорема Гаусса и теорема о циркуляции магнитного поля. Система уравнений Максвелла электро- и магнитостатики.

4. Примеры расчёта магнитных полей.

4.1. Поле прямолинейного тока.

4.2. Поле бесконечного соленоида.

4.3. Поле тороида.

1. Краткий обзор предыдущей лекции

На прошлой лекции — первой лекции, посвящённой основам магнитостатики — был рассмотрен ряд новых физических величин, сформулированы важные законы и принципы электромагнетизма. Учитывая важность всех этих положений, сегодняшнюю лекцию начнём с их краткого повторения.

1а. Рассмотрение магнитостатики мы начали с обсуждения классических опытов Ампера. Его исследования взаимодействия параллельных токов позволили установить силу, действующую на единицу длины проводника:

, . (9.1)

Этот закон был позднее использован для установления эталонной единицы электрического тока в системе СИ — одного ампера.

В уравнении (9.1) коэффициент пропорциональности k = 10^–7 , а в рационализированной СИ k = , откуда следует, что магнитная постоянная µ₀ = 410^–7 . Отметим, что µ₀ в электромагнетизме является аналогом электрической постоянной ₀ в электростатике (попутно заметим, что в «аналогичных» формулах магнито- и электростатики, если ₀ — в знаменателе, то µ₀ — непременно в числителе).

Какой закон, какая формула электростатики может быть названа «аналогом» формулы (9.1) магнетизма? Закон Кулона:

. (9.2)

В уравнении (9.1) взаимодействуют два единичных элемента тока, в уравнении (9.2) — два электрических заряда.

1b. Природа силового взаимодействия токов была раскрыта в опытах Эрстеда. Было установлено, что электрический ток является источником магнитного поля, а силовое взаимодействие токов имеет электромагнитную природу.

Возникла необходимость введения количественной характеристики новой физической сущности — электромагнитного поля.

1c. Силу, с которой магнитное поле действует на проводник с током, исследовал Ампер. В законе Ампера устанавливается, что способность магнитного поля действовать на электрический ток количественно можно оценить такой векторной величиной , что сила, действующая на элемент тока в этом магнитном поле, будет равна:

. (9.3)

(9.3) — математическая запись закона Ампера.

Этот закон использован для установления единицы измерения магнитной индукции:

. (9.4)

Вновь напрашивается аналогия с электростатикой: напряжённость электростатического поля:

. (9.5)

В качестве силовой характеристики электрического поля принята сила, действующая на единичный положительный заряд (9.5).

Силовая характеристика магнитного поля (9.4) равна силе, действующей на единичный элемент тока Idl.

Но как связать магнитную индукцию поля с электрическим током, который создал это поле? Ответ на этот вопрос дают два важнейших опытных положения электромагнетизма: принцип суперпозиции магнитных полей и закон Био-Савара-Лапласа.

1d. Принцип суперпозиции утверждает, что магнитное поле, созданное произвольным электрическим током в некоторой точке пространства А, можно вычислить, сложив поля, созданные в рассматриваемой точке всеми элементами этого тока (рис. 9.1.).

Рис. 9.1.

На вопрос: какое же поле создаёт элементарный элемент тока , отвечает закон Био-Савара-Лапласа:

. (9.6)

Вновь обратите внимание на схожесть методических подходов теорий электро- и магнитостатики.

В электростатике электрическое поле произвольной системы зарядов, на основании принципа суперпозиции, представляется векторной суммой полей точечных зарядов:

.

Поле точечного заряда следует из закона Кулона:

. (9.7)

Сходные уравнения (9.6) и (9.7) по праву можно назвать «элементарными кирпичиками» магнитного и электрического полей (обратите ещё раз внимание на положение постоянных µ₀ и ₀ в этих формулах!).

1e. На этом мы завершили прошлую лекцию, проиллюстрировав рассмотренный материал расчётом магнитных полей прямолинейного тока I:

(9.8)

и на оси кругового тока:

.