Задания для работы на занятии:

1. Перевести из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и двоично-десятичную числа:

-175,34;

-256,75.

2. Перевести из двоичной системы счисления в десятичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и двоично-десятичную числа:

-10000111010101,1001;

-1111100010101111100101,10101.

3. Образовать все виды машинных кодов от чисел:

35 и -44. Выполнить их сложение во всех кодах и проверить правильность результата.

4. Умножить в машинных кодах числа:

-5 и +9;

-3 и –8. Результат проверить.

5. Представить числа 35 и –44 в форме с плавающей запятой и показать их размещение в шестнадцатиразрядной сетке ЭВМ . Выполнить сложение в форме с плавающей запятой. Проверить правильность результата.

Контрольные вопросы:

1. Что понимается под системой счисления?

2. Сформулируйте правила перевода целых и дробных чисел из одной системы счисления в другую?

3. Как переводятся числа в системах счисления с основаниями, кратными степени 2?

4. Каково назначение обратного и дополнительного кодов?

5. Каково назначение модифицированных обратного и дополнительного кодов?

Задание на самоподготовку:

1. Составить и выполнить по одному примеру на решение задач по

• переводу чисел из одной системы счисления в другую;

• образованию машинных кодов;

• их сложению, вычитанию и умножению.

2. Подготовиться к ПЗ№2 "Минимизация логических функций".

Литература:

1. Пятибратов А.П. и др. Вычислительные системы, сети и телекоммуникации: Учебник.-2-е изд., перераб. и доп./ А.П.Пятибратов, Л.П. Гудыно, А.А.Кириченко; Под ред. А.П.Пятибратова. М.: Финансы и статистика, 2002.-512с:ил.

2. Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы: Учеб. Пособие для вузов.-3-е изд.,перераб и доп.-М.: Энергоатомиздат,1991.-592с.:ил.

3. Нешумова К.А. Электронные вычислительные машины и системы. М.: Высшая школа, 1989.-366с.:ил.

Пз №2. Минимизация логическиз функций

Цель занятия:

4. Освоить практически различные способы минимизации логических функций.

5. Научиться применять различные способы решения задач по минимизации логических функций.

6. Приобрести навыки практической работы по использованию различных способов минимизации логических функций.

Теоретические сведения

2.1. Минимизация функций алгебры логики

Проблема минимизации логических функций решается на основе приме­нения законов склеивания и поглощения с последующим перебором получае­мых дизъюнктивных форм и выбором из них оптимальной (минимальной). Существует большое количество методов минимизации ЛФ. Все они отли­чаются друг от друга спецификой применения операций склеивания и погло­щения, а также различными способами сокращения переборов.

­ Минимизация «вручную» возможна только для функций, зависящих от 4-5 переменных, так как трудоемкость переборов растет в квадратичной зависимости от числа переменных. Применение мощных ЭВМ для этих целей позволяет расширить границы до п= 12-15. Если при этом учесть, что функции могут быть частично определены (значения функций на некоторых наборах переменных можно определять произвольно), а также что иногда приходится решать задачи совместной минимизации систем ЛФ, то мини­мизация ЛФ становится сложной инженерной, практической и научной про­блемой.

Минимизация функций алгебры логики (ФАЛ) – это процедура нахождения наиболее простого представления ФАЛ в виде суперпозиции функций, составляющих функционально полную систему, при одновременной оптимизации ее схемотехнической реализации по некоторым критериям в условиях ряда ограничений. Критериями оптимизации могут быть объем оборудования (количество вентилей, корпусов и т.п.), вес , габариты, стоимость, быстродействие и другие. В качестве ограничений могут использоваться допустимые к применению системы элементов, число элементов в корпусе, коэффициенты объединения по входу и разветвления по выходу логических элементов и т.д.

Решение задачи минимизации в полном объеме представляет трудную проблему поскольку ряд критериев оптимизации зачастую находится в противоречии друг с другом. Поэтому зачастую задачу минимизации решают в упрощенной постановке, например, ограничиваются задачей представления ФАЛ в дизъюнктивной или конъюнктивной форме, содержащей наименьшее возможное число логических переменных (букв в формуле ФАЛ). Каноническая задача минимизации формулируется так:

• Для дизъюнктивных форм в записи ФАЛ должно присутствовать как можно меньше элементарных конъюнкций, в которых в свою очередь должно быть как можно меньше сомножителей.

Для пояснения сказанного рассмотрим пример представления ФАЛ, заданной следующей таблицей истинности.

№ набора	Х2	Х1	Х0	F(X2,X1,X0)
0	0	0	0	0
1	0	0	1	1
2	0	1	0	0
3	0	1	1	1
4	1	0	0	1
5	1	0	1	1
6	1	1	0	1
7	1	1	1	0

ФАЛ, заданную таблицей истинности, можно представить следующими выражениями:

Y =Х₂Х₁X₀ + Х₂Х₁X₀ + Х₂Х₁X₀ + Х₂Х₁X₀ + Х₂Х₁X₀ (2.1)

Y= X₂ X₁ + X₂ X₀ + X₂ X₀ (2.2)

Y =(Х₂ +Х₁ + X₀)(Х₂ +Х₁ + X₀)(Х₂ +Х₁ + X₀) (2.3)

Y =(Х₂ + X₀)(Х₂ +Х₁ + X₀) (2.4)

В выражении (1), записанном в СДНФ, 5 слагаемых по 3 буквы в каждом, а всего 15 букв и 3 инвертора, в то время как в выражении (2.2) 3 слагаемых по 2 буквы в каждом, а всего 6 букв и 3 инвертора. Выражение (2.2) является минимальной дизъюнктивной формой для данной ФАЛ.

В выражении (2.3), записанном в СКНФ, 3 сомножителя по 3 буквы в каждом, а всего 9 букв и 3 инвертора, в то время как в выражении (2.4) 2 сомножителя по 2 и 3 буквы, а всего 5 букв и 3 инвертора. Выражение (2.4) — минимальная конъюнктивная форма для данной ФАЛ.

Применяя скобочные формы и формы с групповыми инверсиями, выражения (2.2) и (2.4) можно еще упростить:

Y= X₂ X₁ +X₂ X₀ + Х₂X₀ = Х₂(Х₁ + X₀) + Х₂X₀ = Х₂Х₁X₀ + Х₂X₀ (2.5)

где 5 букв и 2 инвертора.

Y=(Х₂ + X₀ )(Х₂ + Х₁ + X₀ ) = (Х₂ +X₀ )Х₂Х₁X₀ (2.6)

где 5 букв и 1 инвертор.

В настоящее время в теории проектирования логических схем наиболее полно исследованы именно задачи минимизации дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм, обеспечивающих рациональное решение при синтезе комбинационных схем, на входах которых доступны как переменные, так и их инверсии. Такое парафазное представление переменных легко обеспечивается, если они снимаются с выходов триггеров, используемых в качестве запоминающих элементов разрабатываемых цифровых устройств.

Сформулированная выше задача минимизации ФАЛ являлась чрезвычайно актуальной в тот период времени, когда разработка цифровых устройств велась на электромеханических переключательных элементах, дискретных радиокомпонентах и интегральных схемах малой степени интеграции. Достигнутые в настоящее время схемотехнологические успехи в микроэлектронике, в частности создание схем средней, большой и сверхбольшой интеграции таких как мультиплексоры, постоянные запоминающие устройства (ПЗУ), программируемые логические матрицы (ПЛМ) и другие разновидности программируемых логических интегральных схем, позволяют реализовать очень сложные системы ФАЛ, используя, практически, один корпус без каких-либо процедур минимизации. Например, используя ПЗУ типа КР556РТ16 или К1623РТ2 с организацией 8Кх8, можно реализовать систему восьми ФАЛ, зависящих от 13 переменных.

Учитывая, что такие БИС дороги, требуют сложной anпаратно-программной поддержки для их программирования, а в инженерной практике чаще решаются более простые задачи, рассмотрим вопросы минимизации ФАЛ, остановившись на некоторых, нашедших наибольшее распространение, методах минимизации ФАЛ.

К настоящему времени широкое применение получили:

1. Расчетный метод (метод непосредственных преобразований).

2. Расчетно-табличный метод (метод Квайна-Мак Класки).

3. Метод Петрика (развитие метода Квайна-Мак Класки).

4. Табличный метод (карты Карно).

5. Метод гиперкубов.

6. Метод факторизации.

7. Метод функциональной декомпозиции и др.

Первый метод применяется при числе переменных n <= 3 и основан на использовании операций склеивания, поглощения и развертывания . Ниже он будет рассмотрен подробно.

Второй и третий методы используются при п<=16 в профессиональных разработках и ориентированы на использование САПР с применением ЭВМ . Здесь они рассматриваться не будут. Четвертый метод является самым распространенным инженерным методом минимизации ФАЛ для n <=6 и будет рассмотрен подробно. Шестой метод не имеет каких-либо существенных достижений при решении общих задач, более простых, чем метод перебора всех формул ФАЛ даже для n = 3. Практически он применяется для уменьшения сложности минимальных ДНФ и КНФ, полученных с помощью первого или четвертого методов. Он основан на использовании скобочных форм и форм с групповыми инверсиями .

Седьмой метод представляет ФАЛ, зависящую от n переменных, в виде суперпозиций функций, зависящих от меньшего числа переменных, для которых можно применить вышеперечисленные методы, и здесь не рассматривается .

Исходной формой для большинства методов являются либо таблица истинности, либо одна из совершенных форм - СДНФ или СКНФ. Если ФАЛ задана в другом виде, то предполагается, что она сначала переводится в СДНФ или СКНФ с использованием основных законов булевой алгебры. Далее будут рассмотрены методы минимизации ФАЛ, представленной в СДНФ.

При выполнении процедур канонической минимизации большую роль играют понятия импликанты и простой импликанты ФАЛ. Булева функция z = f₁ (x_n-1; x_n-2; ...; x₀) называется импликантой булевой функции Y = f₂ (x_n-1; x_n-2; ...; x₀), если на любом наборе значений переменных x_n-1; x_n-2; ...; x₀, на котором значение функции z равно 1, значение функции Y также равно 1.

Простой импликантой функции Y называется всякое элементарное произведение z = x_n-1; x_n-2; ...; x_0, являющееся импликантой функции, такое, что никакая его собственная часть (то есть произведение, полученное из произведения z выбрасыванием одного или нескольких сомножителей x_i) уже не является импликантой функции Y. Так как в дальнейшем будут использоваться только простые импликанты, опустим слово "простые", то есть если в тексте встречается понятие "импликанта", то надо помнить, что имеется в виду простая импликанта.

В общем случае минимизация ФАЛ, заданной в СДНФ, требует выполнения процедур следующих трех этапов.

1 этап — переход от СДНФ к сокращенной ДНФ (СокрДНФ). СокрДНФ — это форма ФАЛ, членами которой являются изолированные (несклеивающиеся) элементарные произведения. Этот этап основан на выполнении всех возможных склеиваний друг с другом сначала конституент единицы, а затем произведений меньшего ранга (импликант). Отметим, что существуют ФАЛ, у которых СДНФ совпадает с СокрДНФ.

2 этап — переход от СокрДНФ к тупиковой ДНФ (ТДНФ). ТДНФ — это форма ФАЛ, членами которой являются импликанты, среди которых нет ни одной лишней. Лишней импликантой называется член ФАЛ, удаление которого из выражения не изменяет ФАЛ. Отметим, что возможны случаи, когда в СокрДНФ нет лишних импликант. Иногда из одной СокрДНФ можно получить несколько различных ТДНФ. Термин "тупиковая" говорит о том, что дальнейшая минимизация в рамках нормальных форм уже невозможна.

3 этап — переход от ТДНФ к минимальной форме. Этот этап основывается на использовании групповых инверсий и скобочных форм, не является систематическим и во многом определяется опытом разработчика.