§2.Интегрирование способом подстановки (метод замены переменной)
Способ подстановки заключается в том, чтобы, преобразовав подынтегральную функцию, свести интеграл к табличному виду.
Например:
1. Найти интеграл
Подстановка
2x=U
приводит рассматриваемый интеграл к
табличному, причем dU=2dx
Тогда
Возвращаясь к первоначальной переменной интегрирования х, окончательно получим:
.
2. Найти интеграл
.
Полагая
,
имеем
.
Из полученного
.
Тогда
3. Найти интеграл
.
Применим
подстановку
,
следовательно
.
Тогда данный интеграл примет вид
.
4. Найти интеграл
.
Подстановка
приводит данный интеграл к табличному
виду, причем
,
значит
.
Запишем интеграл, используя подстановку
Методом подстановки найти следующие интегралы:
§ 3. Интегрирование по частям
С помощью формулы интегрирования по частям
,
где
u,
v
–дифференцируемые
функции, зависящие от х,
нахождение интеграла
сводится к отысканию более простого
интеграла
.
Примеры.
1. Найти интеграл
.
Положим
,
тогда
.
Отсюда
.
Используя формулу интегрирования по частям, получим
2. Найти интеграл
Полагая
найдем
Отсюда
3. Найти интеграл
.
Полагая
получим
Тогда интеграл примет вид:
Используя формулу интегрирования по частям, найти следующие интегралы:
