Глава 3 Исследование функций методами дифференциального исчисления

§1. Интервалы монотонности функции

Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если в этом интервале каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными. Монотонность функции характеризуется знаком первой производной . Если в некотором интервале>0 (<0), то функция возрастает (убывает) в этом интервале.

Рассмотрим примеры.

1. Даны функция и точки . В каких из перечисленных точек функция возрастает? Убывает?

Решение. Найдем производную заданной функции: .

При >0 - функция возрастает,

при <0 - функция убывает,

при >0 - функция возрастает,

при <0 - функция убывает.

2. Найти интервалы возрастания и убывания функции , если .

Решение.

Найдем производную заданной функции: . В промежутке производная >0 поэтому функция возрастает, а в промежутках и производная<0 – функция убывает.

3. Определить характер монотонности функции в промежутке .

Решение.

Найдем производную .

При производная >0 функция возрастает. При производная >0 – функция возрастает. Следовательно, функция возрастает во всей области определения.

Решить следующие задачи.

1. Убедиться, что функция в интервале <<3 убывает.

2. Определить интервалы убывания и возрастания функции . (Ответ: при x<0 функция убывает, при x>0  возрастает).

3. Определить, при каких значениях функция убывает. (Ответ: при любом функция убывает).

4. Проверить, во всем ли интервале функция возрастает. (Ответ: при функция убывает).

5. Определить интервал возрастания функции . (Ответ: при x>0 функция возрастает).

6. Найти интервалы возрастания и убывания функции . (Ответ: в интервале и функция возрастает; в интервале  убывает).

7. Найти интервалы монотонности функции . (Ответ: интервал возрастания , интервал убывания ).

§2. Экстремум функции

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех этой окрестности выполняется неравенство < (максимум) или > (минимум).

Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) – максимумом (минимумом), или экстремумом функции.

Правила отыскания экстремумов функции:

1. Вычислить производную .

2. Составить уравнение =0 и найти его корни, которые являются критическими точками функции.

3. Установить знак производной слева и справа от критической точки.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус (вторая производная при этом меньше нуля), то в критической точке она имеет максимум.

Если производная в критической точке меняет знак с минуса на плюс (вторая производная при этом больше нуля), то функция в этой точке имеет минимум.

Рассмотрим примеры.

1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

Находим первую производную заданной функции: . Приравниваем ее к нулю и определяем критические точки: , значение является критической точкой. Определяем знак при переходе через критическую точку. Если , то <0. Если , то >0. Полученный результат позволяет утверждать, что в точке функция имеет минимум, значение которого .

2. Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

Так как - периодическая функция с периодом , то достаточно найти экстремумы на отрезке .

Дифференцируя, получим . Производная существует на всем отрезке и обращается в нуль в точках . Для исследования функции на экстремум выясним знак второй производной в каждой из полученных точек. Имеем

>0;

<0;

>0;

<0.

Отсюда следует, что

при ;	при ;
при ;	при .

3. Рис. 1

   В шар радиусом R вписан цилиндр наибольшего объема. Обозначим высоту, радиус основания и объем цилиндра соответственно через . Объем цилиндра рассчитывается по формуле . Из геометрических построений видно (рис. 1), что , тогда формула для расчета объема будет иметь вид .

Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции в промежутке .

Найдем производную:. Приравнивая к нулю , получим единственную критическую точку , принадлежащую рассматриваемому промежутку, в которой объем и принимает наибольшее значение .

В итоге мы получили, что наибольший объем будет иметь цилиндр, высота которого .

4. На какой высоте над центром круглого стола радиусом R следует поместить электрическую лампочку, сила света которой J, чтобы освещенность E края стола была максимальной?

Решение.

Освещенность вычисляется по формуле , где значения и определяются, исходя из рис.2.

За независимую переменную примем угол и,

Рис. 2

учтя, что , получим

.

Найдем максимальное значение полученной функции в промежутке изменения независимой переменной . Дифференцируя , получим . Решая уравнение , находим, что функция в интервале имеет единственную критическую точку: . Следовательно, при освещенность будет наибольшей, поэтому . Это и есть искомая величина.

Исследовать на экстремум следующие функции.

	.	Ответ: при функция имеет минимум).
	.	Ответ: при функция имеет максимум).
	.	Ответ: при функция имеет минимум.
	.	Ответ: при функция имеет максимум, при  минимум.
	.	Ответ: при функция имеет минимум, при  максимум.
	.	Ответ: при функция имеет минимум).
	>0.	Ответ: при функция имеет минимум, при  максимум.

0. Исследовать функцию на экстремум и найти значения функции в экстремальных точках. (Ответ: при функция имеет минимум; ).

1. Секундный расход воды при истечении ее через отверстие в толстой стене определяется по формуле , где - диаметр отверстия, - глубина его низшей точки, - некоторая постоянная. При каком значении секундный расход воды является наибольшим? (Ответ: при).

2. Показать, что мощность тока, получаемого от гальванического элемента во внешней цепи, будет наибольшей, если сопротивление R внешней цепи равно внутреннему сопротивлению самого элемента.

3. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью м/с. Уравнение движения тела . Будет ли тело подниматься или опускаться в момент с? В какой момент оно достигнет максимальной высоты и какова эта высота? (Ответ: тело поднимается; максимальной высоты достигнет в момент времени с; м).

4. Рост численности популяции в условиях ограниченности ресурсов происходит по закону , где - постоянная величина, зависящая от вида клеток, характера среды и других внешних факторов; и - начальная и максимально возможная численность популяции. Определить момент времени, когда скорость роста популяции максимальна, и численность популяции в этот момент.

(Ответ: ; ).

0. В последовательной реакции концентрация промежуточного вещества зависит от времени по закону , где - постоянные величины (>. Определить скорость изменения концентрации. Через какое время после начала реакции концентрация достигнет максимума?

1. (Ответ: ; ).

2. В шар радиусом R вписан цилиндр, имеющий наибольшую боковую поверхность. Определить высоту цилиндра.

3. (Ответ: высота равна ).