§4. Производные высших порядков
Производная
второго порядка (вторая производная)
от функции
есть производная от ее производной,
т.е.
.
Производная
третьего порядка (третья производная)
от функции
есть производная от ее второй производной:
.
Вообще
производная n-го
порядка ( n-я
производная) функции
есть производная от ее (n-1)-й
производной.
Рассмотрим пример.
Найти
третью производную от функции
.
Дифференцируя
данную функцию, получим
.
Дифференцируя
производную
,
найдем:
.
Отсюда третья производная
.
Найти производные второго порядка от функций
|
2.127. |
|
Ответ:
|
|
2.128 |
|
Ответ:
|
|
2.129. |
|
Ответ:
|
|
2.130. |
|
Ответ:
|
|
2.131. |
|
Ответ:
|
|
2.132. |
|
Ответ:
|
|
2.133. |
|
Ответ:
|
|
2.134 |
|
Ответ:
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Найти производные третьего порядка от функций:
|
2.135. |
|
Ответ:
|
|
2.136. |
|
Ответ:
|
|
2.137. |
|
Ответ:
|
|
2.138. |
|
Ответ:
|
|
2.139. |
|
Ответ:
|
|
2.140. |
|
Ответ:
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
§5. Дифференциал функции
Дифференциалом
(первого порядка) функции
называется главная часть ее приращения,
линейная относительно приращения
аргумента.
Дифференциалом
аргумента называется приращение этого
аргумента:
Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:
.
Основные свойства дифференциала.
1.
,
где С=const
2.
3.
4.
5.
,
6.
Если
приращение аргумента
мало по абсолютной величине, то
и
.
Полученное выражение позволяет
использовать дифференциал функции для
приближенных вычислений.
Дифференциалом
второго порядка функции
называется
дифференциал от дифференциала первого
порядка:
.
Аналогично определяется дифференциал
третьего и более высоких порядков.
Используя определение дифференциала, рассмотрим ряд примеров.
-
Найти приращение
и дифференциал
функции
при
и
=0,01.
Каковы абсолютная и относительная
погрешности, которые допускаются при
замене приращения функции ее
дифференциалом?
Имеем
=
.
Найдем дифференциал функции
.
Абсолютная погрешность
.
Относительная погрешность
.
-
Найти дифференциалы первого и второго порядков функции
.
Имеем
-
дифференциал первого порядка,
-
дифференциал второго порядка.
-
Вычислить приближенное значение
.
Рассмотрим
функцию
.
Полагая
,
и применяя формулу
,
получаем
.
-
Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.
Воспользуемся
формулой
.
Полагая R=3,
,
имеем
.
Следовательно, площадь круга радиуса 3,02м имеет приближенное значение
.
-
Вычислить приближенно
.
Рассмотрим
функцию
и положим x=8,
