Глава 6 дифференциальные уравнения

§1.Основные понятия

Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называется дифференциальным уравнением.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Например, уравнение - первого порядка.

Функция y=(x), удовлетворяющая дифференциальному уравнению, называется решением этого уравнения.

Решение дифференциального уравнения, содержащее столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения, называется общим решением этого уравнения.

Например, для уравнения первого порядка общее решение имеет вид y=(x,с).

Функции, получаемые из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных, называются частными решениями.

Для нахождения частного решения дифференциального уравнения задаются начальные условия.

Рассмотрим следующие примеры.

1. Проверить, является ли функция y=cos x решением уравнения

y+y=0.

Найдем y=-sin x, y=-cos x. Подставляя выражения для y и y в данное уравнение, получаем

y+y=-cos x+ cos x=0,

т.е. функция y=cos x является решением данного дифференциального уравнения.

2. Общее решение дифференциального уравнения y-3y=0 имеет вид

y=Ce^3x.

Найти его частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e³.

Значение произвольной постоянной С, соответствующее некому частному решению, получается в результате подстановки в выражение общего решения заданных начальных условий: e³=Ce³, откуда С=1. Подставляя полученное значение С=1 в общее решение, найдем частное решение y=e^3x, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

6.1 Выяснить, являются ли решениями дифференциального уравнения следующие функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

6.2 Выяснить, являются ли решениями дифференциального уравнения следующие функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

6.3 Общее решение дифференциального уравнения .

Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

§2.Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид

.

Поделив все члены уравнения на , получим уравнение

,

в котором переменные разделены.

Общее решение уравнения находим почленным интегрированием

Например.

1. Найти общее решение уравнения

.

Поделим обе части уравнения на :

.

Интегрируя обе части уравнения, получим

,

откуда

.

Так как С- произвольная постоянная, то ее можно заменить на . Тогда

,

это и есть общее решение данного уравнения.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Найдем общее решение данного уравнения. Для этого разделим переменные:

,

или

.

Интегрируя, получаем

.

Используя начальные условия, подставляем в выражение общего решения заданные значения переменных , тем самым определяем значение производной постоянной С:

.

Из последнего равенства получаем С = 1.

Итак, искомое частное решение :

.

Найти общее решение дифференциальных уравнений.

Найти общее и частное решение дифференциальных уравнений:

	, если .		, если .
	, если .		, если .
	, если .		, если .