Глава 7 Элементы теории вероятностей и математической статистики

§ 1. Основные понятия

Теория вероятностей и методы математической статистики широко используются при изучении заболеваемости, физического развития населения, физиологических и биохимических показателей. Это обусловлено тем, что многим биологическим явлениям свойственны статистические закономерности, которые обнаруживаются при изучении случайных совокупностей.

Теория вероятностей изучает закономерности, присущие массовым (статистическим) случайным событиям, и их количественную оценку. Математическая статистика позволяет систематизировать и оценивать экспериментальные данные, которые рассматриваются как случайные величины.

Важнейшими понятиями теории вероятностей и математической статистики являются понятия «случайное событие», «вероятность случайного события», «случайная величина».

Случайным событием А называют событие, которое в одинаковых условиях эксперимента может произойти, а может и не произойти, и о появлении которого не может быть сделано точного предсказания.

Вероятность случайного события – это количественная оценка объективной возможности появления данного события.

В математической статистике вероятностью случайного события называют предел, к которому стремится относительная частота события при неограниченном увеличении числа испытаний n:

,

где – количество появлений события А.

Переменные величины, которые принимают различные значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств, называют случайными. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Случайную величину называют дискретной, если она принимает счетное множество значений (число больных на приеме у врача, число дней нетрудоспособности).

Случайная величина называется непрерывной, если она принимает любые значения внутри какого-либо интервала (рост человека, масса тела человека).

Обычно отдельные значения случайной величины появляются с определенной вероятностью. Соотношение, устанавливающее связь между значением случайной величины и соответствующей ей вероятностью называют законом распределения. Закон распределения можно представить в виде статистического ряда-таблицы, где указаны значения случайной величины и их вероятности (для дискретной величины), графически (для непрерывной величины) и аналитически.

Дискретная случайная величина задается функцией вероятности – зависимостью вероятности случайной величины от ее значения :

.

Непрерывная случайная величина задается функцией распределения вероятностей . Функция распределения вероятностей, или плотность вероятности, является первой производной вероятности случайной величины по ее значению

.

Отсюда следует, что

, (1)

или, интегрируя это выражение в соответствующих пределах, находим вероятность того, что случайная величина принимает какое-либо значение в интервале :

. (2)

§ 2. Числовые характеристики распределения случайных величин

Обычно для описания распределения случайной величины бывает достаточно определить несколько числовых характеристик (параметров). Наиболее распространенные из них: математическое ожидание (среднее значение) случайной величины , дисперсия случайной величины и среднее квадратичное отклонение случайной величины .

Математическое ожидание – наиболее вероятное значение случайной величины. Для дискретных величин оно равняется сумме произведений каждого возможного значения на его вероятность :

, (3)

где n-количество значений случайной величины.

Для непрерывных случайных величин математическое ожидание рассчитывается так:

. (4)

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение являются показателями рассеяния, вариации, изменчивости случайной величины.

Дисперсия - математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

. (5)

Для дискретных случайных величин дисперсия вычисляется как:

, (6)

а для непрерывных случайных величин так:

. (7)

Среднее квадратичное отклонение вычисляется по формуле:

.

Эта величина равна среднему квадратичному отклонению случайной величины от ее математического ожидания. Она, в отличие от дисперсии, выражается в единицах той же размерности, что и изучаемая величина.

§3. Нормальный закон распределения случайных величин

Существуют различные законы распределения случайных величин. Для непрерывных величин наиболее распространенным является так называемый нормальный закон распределения или закон Гаусса. В соответствии с этим законом распределяются масса тела, рост человека, физиологические показатели и многое другое. В ряде случаев этот закон применим для анализа распределений дискретных случайных величин.

Функция плотности вероятностей нормального закона распределения случайных величин имеет следующий вид:

, (9)

где – основание натурального логарифма, – математическое ожидание , среднее квадратичное отклонение случайной величины .

График этой зависимости называется кривой нормального закона распределения, или кривой Гаусса (рис.1). Кривая имеет колоколообразную форму, она симметрична и асимптотически приближается к нулю. Из рисунка видно, что наиболее вероятным значением случайной величины является математическое ожидание . При отклонении величины в большую или меньшую сторону вероятность ее уменьшается.

Рис. 1

На кривой имеются две характерные точки, где выпуклость ее переходит в вогнутость. Абсциссы этих точек равны и .

Таблица 1

Интервал					Р,%
					68,3
						95,0
						95,5
						99,0
						99,7
Здесь через обозначено .

Зная функцию плотностей вероятностей, можно рассчитать вероятность попадания случайной величины в заданный интервал значений . Например, вероятность попадания в интервал между значениями и равна:

,

или, графически, вероятность попадания оказывается равной площади криволинейной трапеции, заштрихованной на графике, приведенном на рис.1,в.

Рассчитано (табл.1), что вероятность появления случайной величины в интервале составляет 0,68, в интервале – примерно 0,95, а в интервале вероятность появления случайной величины составляет 0,997.