§ Степенные асимптотические разложения

Пусть задана система функций :.

Асимптотическим степенным разложением функции при по шкале называется:

≃ 

≃ 

≃ .

§ Действия над асимптотическими разложениями.

Введем действия над асимптотическими разложениями.

Пусть: f (x) ≃ и g (x) ≃ асимптотические разложения функций f (x) и g (x) по шкале .

1˚. Умножение асимптотического разложения на число αR (α 0)

≃

2˚. Сложение асимптотических разложений

≃

3˚. Линейная комбинация асимптотических разложений

≃

4˚. Умножение асимптотических разложений

≃ где .

В частности l₀ = c₀d₀ ; l₁ = c₀d₁+c₁d₀ ; l₂ = c₀d₂+c₁d₁+c₂d₀ .

5˚. Деление асимптотических разложений

≃ ;

и находим из соотношений ≃

§ Асимптотические разложения Маклорена для основных элементарных функций

Рассмотрим систему функций . Если взять эту систему функций в качестве шкалы асимптотического сравнения при , то справедливы следующие асимптотические разложения

1˚. ≃

≃

2˚. ≃

≃

3˚. ≃

≃

4˚. ≃

≃

5˚. ≃

≃

§ Теорема о вложенных промежутках (Коши-Кантора)

Т˚. Во всякой последовательности вложенных друг в друга замкнутых промежутков, длины которых стремятся к нулю, содержится единственная точка, принадлежащая всем промежуткам одновременно:

.

Δ Последовательность: - возрастающая и ограниченная сверху (любым ), следовательно по теореме Вейерштрасса имеет предел: .

Последовательность - убывающая и ограниченная снизу (например, одним из ), т.е. .

Тогда: , т.е. ▲

§ Теорема (Бореля-Лебега) о конечном покрытии.

Def. Система множеств , где α пробегает некоторое множество А называется покрытием множества Х, если .

Def. Если все - открытые множества, то покрытие называется открытым, если множество А – конечно, то покрытие называется конечным.

Def. Всякая подсистема множеств покрытия, которая тоже покрывает данное множество называется подпокрытием покрытия .

Т˚. Всякое покрытие замкнутого промежутка интервалами содержит конечное подпокрытие. (Из всякого покрытия замкнутого промежутка интервалами можно выделить конечное).

Δ Доказательство теоремы проведем от противного.

Пусть из некоторого покрытия [a,b] нельзя извлечь [—————|—————]

конечное. Разделим отрезок пополам точкой c a b c

Тогда, по крайней мере, для одного из промежутков [a,c] или [c,b] нет конечного подпокрытия. Обозначим этот промежуток . Aналогично, (продолжая процедуру), получим: и . Т.е. существует только одна общая точка всех интервалов. Для точки с существует интервал I из покрытия, такой что с  и этот интервал покрывает начиная с некоторого k. Это противоречит тому, что ни один из этих промежутков не имеет конечного покрытия.

Предположение о том, что из бесконечного открытого покрытия замкнутого промежутка нельзя выделить конечное подпокрытие привело к противоречию. Это доказывает теорему.▲