§. Теорема Абеля.

Поиски формул для решения уравнений пятой и более высоких степеней безуспешно продолжались до начала девятнадцатого века когда была, наконец, доказана следующая замечательная теорема

Т. Абеля: Общее алгебраическое уравнение с одним неизвестным степени выше четвертой не разрешимо в радикалах т.е. не существует формул, выражающих его корни через коэффициенты с помощью радикалов.

Более того, для любой степени не меньшей пяти можно указать уравнение с целыми коэффициентами, корни которого никак не выражаются через радикалы, сколь угодно многоэтажные, если в подрадикальных выражениях используются лишь целые и рациональные числа. Таково, например, уравнение . Можно доказать, что это уравнение имеет три вещественных и два комплексных корня, но уравнение неразрешимо в радикалах. Таким образом, запас чисел, вещественных или комплексных, которые служат корнями уравнений с целыми коэффициентами ( такие числа называются алгебраическими в противоположность числам трансцендентным, которые не являются корнями никаких уравнений с целыми коэффициентами), много шире запаса чисел, записываемых через радикалы.

Теория алгебраических чисел является важной ветвью алгебры. Доказательство невозможности разрешения в радикалах уравнений степени выше четвертой найдено Абелем (1802 – 1829). Существование не разрешимых в радикалах уравнений с целыми коэффициентами установил Галуа (1811 – 1832). Он также нашел условия, при которых уравнение может быть решено в радикалах. Все эти результаты потребовали создания новой глубокой теории, а именно теории групп. Понятие группы позволило исчерпать вопрос о разрешимости уравнений в радикалах, а позже оно нашло многочисленные применения в различных разделах математики и физики а также за их пределами и стало одним из важнейших объектов изучения в алгебре.

Отсутствие формул для решения уравнений степени выше четвертой не вызывает серьезных затруднений, если говорить о поиске корней таких уравнений. Оно полностью компенсируется многочисленными методами приближенного решения уравнений, которые даже для кубических уравнений ведут к цели гораздо быстрее, чем применение формул (там, где они вообще применимы) и последующее приближенное извлечение радикалов.

§. Еще о функциях комплексного переменного.

1. Линейная функция ; .

Если записать a в показательной форме то: – поворот на угол ,

гомотетия с коэффициентом k и центром в начале координат, – сдвиг плоскости на вектор b.

Таким образом, линейная функция осуществляет поворот комплексной плоскости z с растяжением (сжатием) и последующим параллельным переносом. Линейная функция задает взаимно однозначное соответствие между комплексной плоскостью z и комплексной плоскостью w . При этом она преобразует прямые в прямые, сохраняя угол между ними и окружности в окружности, т.е. осуществляет конформное отображение комплексной плоскости z в комплексную плоскость w.

2. Степенная функция ; .

Записав z в показательной форме: получим .

При этом окружности радиусом k отображаются в окружности радиуса , а лучи исходящие из начала координат и образующие угол с осью абсцисс переходят в лучи из начала координат и образующие угол с осью абсцисс.

Таким образом: сектор в плоскости z переходит во всю плоскость , сектор в плоскости z также переходит во всю плоскость и т.д. Следовательно, геометрический образ плоскости z при отображении представляет собой плоскость , повторенную n раз.

Из сказанного выше следует, что отображение не осуществляет взаимно однозначного отображения между плоскостью z и плоскостью . Однако, если в качестве геометриче-ского образа функции рассматривать более сложное многообразие, чем обычную комплексную плоскость, можно сохранить взаимную однозначность отображения.

Будем считать, что мы имеем n экземпляров (листов) плоскости , разрезанной по положительной части действительной оси, на каждом из которых изменяется в пределах . Сектору плоскости z функция ставит в соответствие k-й лист плоскости ; луч переходит в верхний берег разреза k-го листа, а луч – в нижний берег разреза этого же k-го листа. Построим из этих листов непрерывное геометрическое многообразие так, чтобы непрерывному движению точки на плоскости z соответствовало непрерывное точки на данном многообразии (смотри рисунок). Для этого заметим, что нижний берег разреза k-го листа и верхний берег разреза -го листа имеют один и тот же аргумент . Когда точка z в своем непрерывном движении по плоскости z переходит из одного сектора в другой, соответствующая ей точка переходит с одного листа плоскости на следующий лист. Очевидно, чтобы сохранить непрерывность отображения мы должны соединить соседние листы, склеивая нижний берег разреза k-го листа с верхним берегом разреза -го листа. При этом остаются свободными верхний берег разреза 1-го листа и нижний берег разреза -го листа. Пусть точка z совершит на плоскости z полный оборот вокруг точки , последовательно пройдя все секторов этой плоскости, начиная с первого сектора, и вернется к своему первоначальному положению. Тогда соответствующая ей точка пройдет листов и, чтобы она вернулась на первый лист, надо склеить оставшиеся свободными берега разрезов на 1-ом и -ом листах. Тем самым полной плоскости z функция ставит в соответствие листов плоскости , склеенных указанным выше способом. Такое геометрическое многообразие представляет собой -листную риманову поверхность, а функция является -листной функцией. Функция осуществляет взаимно однозначное соответствие между комплексной плоскостью z и

-листной римановой поверхностью.

3. Корень натуральной степени .

; .

Функция является многозначной и осуществляет взаимно однозначное соответствие между -листной римановой поверхностью и комплексной плоскостью z. При этом k-й лист римановой поверхности переходит в сектор плоскости z.

4. Показательная функция (экспонента): ;

Основное свойство показательной функции . Тогда

.

Для вещественных значений значения показательной функции комплексного аргумента совпадают со значением вещественной показательной функции вещественного аргумента.

Функция периодична с чисто мнимым периодом : .

Тогда: .

Взаимная однозначность отображения достигается, если ограничиться, скажем, полосой .

Горизонтальная прямая при отображении переходит в луч , в частности, действительная прямая y=0 (как и всякая прямая ) переходит в вещественную положительную полупрямую ,а прямая – в вещественную отрицательную полупрямую. Значит, полоса в плоскости z переходит во всю плоскость w. Полоса в плоскости z также переходит во всю плоскость w.

Отрезки () отображаются на окружности , в частности отрезок мнимой оси переходит в единичную окружность .

Полуполоса , отображается на внешность единичного круга .

Полуполоса , отображается на внутренность единичного круга .

Полоса отображается на верхнюю полуплоскость , полоса – на нижнюю полуплоскость.

Из выше сказанного заключаем, что геометрический образ плоскости z при отображении представляет собой плоскость , повторенную бесконечное число раз.

Тем самым полной плоскости z функция ставит в соответствие бесконечное число листов плоскости , склеенных способом, аналогичным тому который применялся для степенной функции, за исключением того, что теперь этих листом бесконечно много как снизу, так и сверху.

Такое геометрическое многообразие представляет собой бесконечно листную риманову поверхность, а функция является бесконечно листной функцией. Функция осуществляет взаимно однозначное соответствие между комплексной плоскостью z и бесконечно листной римановой поверхностью.

5. Логарифмическая функция: ;

Логарифмическая функция является функцией обратной показательной функцией и, поэтому, является функцией многозначной: ; .

Она осуществляет взаимно однозначное соответствие между бесконечно листной римановой поверхностью и плоскостью w, при этом каждый лист римановой поверхности переходит в горизонтальную полосу .