§ Разрывы монотонной функции.
Т˚. Монотонно возрастающая (убывающая) на промежутке Х функция f (x) может иметь во внутренних точках лишь разрывы 1-го рода.
∆ Пусть
-
внутренняя точка Х и f
(x) монотонно
возрастает. Тогда слева от
f
(x) < f
(
)
и, следовательно, ограничена сверху.
и
а)
если
то
функция непрерывна слева в т.
,
б)
если
то функция разрывна слева в т.
.
Тогда
справа от
функция f (x)
> f (
)
и, следовательно, ограничена снизу.
Следовательно ,
и
а)
если
то
функция непрерывна справа в т.
,
б)
если
то функция разрывна справа в т.
.
Т.к.
пределы функции в точке и слева и справа
существуют и конечны, то в т.
, в худшем случае, будут разрывы 1-го
рода.
▲
Т˚.
(Критерий непрерывности монотонной
функции). Если значения монотонно
возрастающей функции содержатся в
промежутке Y и сплошь
заполняют его (т.е.
),
то эта функция непрерывна на Х.
∆▲
§ Теорема о промежуточном значении непрерывной функции (Больцано-Коши)
Т˚. Функция, непрерывная на промежутке и принимающая какие-либо два значения, принимает и всякое промежуточное значение. (Значения, которые принимает непрерывная функция на промежутке, сами заполняют некоторый промежуток).
Пусть
I – интервал;
.
f (a)
= α; f (b)
= β.
Тогда
|
f (c)
= γ.
Вспомогательный
факт: если f (x)
непрерывна в т.
и f (
)
= ξ > γ,
то
f (x)
> γ.
Аналогично:
если f (
)
= ξ < γ
то
f (x)
< γ.
∆ Рассмотрим
все
,
для которых
.
Т.е.
.
Множество Х – не пусто, т.к. f (a)< γ и ограничено сверху (например, числом b).
Тогда
.
Докажем, что f (c) = γ (от противного).
1).
,
т.е.
,
что противоречит тому, что с = sup X.
2).
,
т.е.
,
и это вновь противоречит тому, что с = sup X.
Таким образом f (c) = γ. ▲
Т˚.
Непрерывная на замкнутом промежутке
функция f (x),
на концах промежутка принимающая
значение разных знаков, неминуемо внутри
промежутка обращается в ноль.
∆ Доказательство проведем методом вилок
Положим
и
.
Делим отрезок
пополам точкой с . Если
то теорема доказана. Если же
,
то на одном из двух промежутков
или
функция имеет разные знаки на концах .
Пусть это отрезок, например
.
Положим
и
.
Получим промежуток
.
Продолжая
эту процедуру мы либо на некотором
конечном шаге найдем точку с в
которой
,
либо получим бесконечную последовательность
вложенных замкнутых промежутков,
удовлетворяющих условию
.
При
этом
.
Значит существует с
общая точка всех промежутков для которой
справедливы равенства 
. Учитывая что,
делаем
заключение
.
▲
§ Существование экстремумов непрерывной функции на сегменте (теорема Вейерштрасса)
Т˚ Функция непрерывная на замкнутом промежутке необходимо ограничена на этом промежутке и достигает на нём своих точных верхней и нижней граней.
|
|
∆ 1)
Допустим,
что f (x)
неограниченна сверху для
.
Тогда
|
Построив
последовательность
выделим из неё сходящуюся последовательность
,
тогда, по непрерывности
,
но
.
Полученное противоречие, доказывает
ограниченность функции сверху. (Аналогично
доказывается ограниченность функции
снизу.
-
Докажем, что
достигается, т.е.
|
.
Вновь
от противного: пусть это не так. Тогда
Рассмотрим
непрерывна и, следовательно (из 1)),
ограничена, т.е.
,
т.е.
.
Последнее
неравенство противоречит тому, что
.
(аналогично с точной нижней гранью). ▲
Т.
(об обратной функции). Если y
= f (x)
определена, монотонно возрастает
(убывает) и непрерывна в некотором
промежутке Х, то в соответствующем
промежутке Y значений
этой функции существует однозначная
обратная функция x =
также монотонно возрастающая (убывающая)
и непрерывная.
∆ (для
возрастающей функции) . Отметим, что
-
Существование обратной функции. Если f (x) непрерывна, то её значения заполняют промежуток Y сплошным образом, т.е.
|
.
Единственность такого x
следует из монотонности исходной
функции.
Тогда
:
,
т.е. x =
.
-
Монотонность. Пусть
.
Т.е. x =
– монотонна. -
Непрерывность (из критерия непрерывности монотонной функции). Значения
x
=
сплошь заполняют промежуток Х и
– монотонна. ▲
§ Обратные
тригонометрические функции
1
Синусом числового аргумента называется синус угла в соответствующее число радиан. Синусом угла называется ордината конца подвижного радиуса, отвечающего заданному углу, на тригонометрическом круге (на круге единичного радиуса).
.
Функция нечетная, периодичная с периодом
Т = 2.
Ее график приведен выше.
Решение простейших
уравнений
Z
,
Z
,
Z
.
А уравнение
На промежутке
функция y = sin
x монотонно возрастает
и непрерывна.
Следовательно, существует обратная к ней функция:
y = arcsin x . Справа приводим ее график.
Def.
,
.
Отметим, что
Z
.
И тогда можно решить, приведенное выше простейшее уравнение
Z
.
2
Косинусом числового аргумента называется синус угла в соответствующее число радиан. Косинусом угла называется абсцисса конца подвижного радиуса, отвечающего заданному углу, на тригонометрическом круге (на круге единичного радиуса).
R
.
Функция четная, периодичная с периодом
Т = 2.
Ее график приведен выше.
Решение простейших
уравнений
Z
,
Z
.
А уравнение
На промежутке
функция y = cos
x монотонно убывает
и непрерывна.
Следовательно, существует обратная к ней функция:
y = arccos x . Справа приводим ее график.
Def.
,
.
Отметим, что
Z
.
И тогда можно решить, приведенное выше простейшее уравнение
Z
.
Приведем еще несколько полезных соотношений
.
-
y
= tg x
Тангенсом числового аргумента называется отношение синуса и косинуса того же аргумента. Его величина равна ординате точки пересечения продолжения радиуса подвижного круга с вертикальной прямой, проходящей через точку с координатами ( 1, 0) на тригонометрическом круге (эта прямая называется осью тангенсов).
D(tg)
= R\{x
x
=
Z
}
Е(tg) = R.
Функция нечетная, периодичная с периодом Т = .
График функции приведен выше.
Решение простейших
уравнений tg
Z
,
tg
Z
,
tg
Z
,
А
уравнение tg
Н
функция y = tg
x монотонно возрастает
и непрерывна.
Следовательно, существует обратная к ней функция:
y = arctg x . Справа приводим ее график.
Def.
R
, E(arctg)
=
.
Отметим, что
Z
.
И тогда можно решить, приведенное выше простейшее уравнение
Z
.
Приведем еще несколько полезных соотношений
.
4
Котангенсом числового аргумента называется отношение косинуса и синуса того же аргумента. Его величина равна абсциссе точки пересечения продолжения радиуса круга с горизонтальной прямой, проходящей через точку с координатами ( 0, 1) на тригонометрическом круге (эта прямая называется осью котангенсов).
D(сtg)
= R\{x
x
=
Z
}
Е(сtg) = R.
Функция нечетная, периодичная с периодом Т = .
График функции приведен выше.
Решение простейших
уравнений сtg
Z
,
Z
,
сtg
Z
,
А
уравнение сtg
На промежутке
функция y = ctg
x монотонно убывает
и непрерывна.
Следовательно, существует обратная к ней функция:
y = arcсtg x . Справа приводим ее график.
Def.
R
, E(arctg)
=
.
Отметим, что
Z
.
И тогда можно решить, приведенное выше простейшее уравнение
с
Z
.
Приведем еще несколько полезных соотношений
,
.