§ Непрерывность тригонометрических функций

1⁰. ,

.

Выбрав получим, что

()

т.е. . Функция непрерывна .

2⁰.-суперпозиция линейной функции и , непрерывна как суперпозиция двух функций непрерывных .

3⁰. Функции tgx, ctgx непрерывны xR, кроме точек, в которых знаменатель обращается в ноль (как частное двух непрерывных функций),

т.е. функции y = tgx и y = ctgx непрерывны в своей области определения.

Раздел 5. Замечательные пределы § Первый замечательный предел

Рассмотрим .

Тогда 0 < S _∆AOB < S _{сек.АОВ} < S _∆AOC ,

tg x,

0  sin x  x  tg x ,

,

.

Учитывая, что при x  0  , по принципу двустороннего ограничения получаем .

Для вывод проводится аналогично. Получаем .

Этот предел называется первым замечательным пределом.

§ Монотонные функции

1⁰. Функция f (x) называется возрастающей на множестве X  D(f ) если

, или, что тоже самое

.

2⁰. Функция f (x) называется неубывающей на множестве X  D(f ) если

, или, что тоже самое

.

3⁰. Функция f (x) называется убывающей на множестве X  D(f ) если

, или, что тоже самое

.

4⁰. Функция f (x) называется не возрастающей на множестве X  D(f ) если

, или, что тоже самое

.

Из приведенных определений ясно, что понятие возрастания и убывания функции является понятием глобальным, в отличие от, скажем, непрерывности являющейся понятием локальным.

Функции возрастающие на множестве X или убывающие на множестве X называются монотонными функциями.

Для последовательностей:

1⁰. Последовательность {x_n} называется возрастающей, если

m,n  N  m > n  x_m > x_n .

2⁰. Последовательность {x_n} называется убывающей, если

m,n  N  m > n  x_m < x_n .

3⁰. Последовательность {x_n} называется не возрастающей, если

m,n  N  m > n  x_m  x_n .

4⁰. Последовательность {x_n} называется не убывающей, если

m,n  N  m > n  x_m  x_n .

Для монотонных функций

*.Если функция монотонна на множестве, то она монотонна на всяком его подмножестве.

*.Если функция одноименно монотонна на промежутках с общей точкой, то она одноименно монотонна на их объединении.

*.Максимальным промежутком монотонности называется такой промежуток монотонности, который не содержится ни в каком большем промежутке монотонности.

*.Максимальные промежутки одноименной монотонности либо совпадают, либо не имеют общих точек.

*.Максимальные промежутки монотонности (разноименной) могут быть смежными и иметь общий конец.

§ Арифметические действия над монотонными функциями.

*. Сумма одноименно монотонных функций одноименно монотонна со слагаемыми.

*. Произведение положительных одноименно монотонных функций одноименно монотонно с сомножителями.

*. Изменение знака монотонной функции (умножение на “-1” ) меняет тип монотонности на противоположный.

*. Изменение знака аргумента меняет тип монотонности на противоположный.

*.Переход от положительной монотонной функции f (x) к арифметически обратной ей функции меняет тип монотонности на противоположный.

*. Взаимно-обратные функции одноименно монотонны.

*. Суперпозиция одноименно монотонных функций не убывает.

*. Суперпозиция разноименно монотонных функций не возрастает.

(При этом суперпозиция не строгая, если не строго монотонна хотя бы одна из функций).

Т. (о существовании предела монотонной ограниченной последовательности):

Монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел.

Монотонная последовательность всегда имеет предел (возможно не собственный).

∆ Пусть к примеру не возрастает и ограничена снизу .

и inf x_n = l* .

Тогда  > 0 N l* > x_N > l*+ n > N l* < x_n  x_N < l*+ ▲.

Пример: Рассмотрим последовательность  .

1. . Тогда начиная с некоторого номера .

, т.е. и последовательность монотонно убывает. При этом она ограничена снизу, т.к. > 0 .

Следовательно .

В равенстве: перейдем к пределу при 

 b = 0b = 0  .

2) c – любое: , и отсюда  .

Т.к. величина является бесконечно малой тогда и только тогда, когда бесконечно малым является её модуль.

§ Перестановки, РАзмещения и сочетания

Пусть имеется набор из n различных объектов.

Правило, по которому объектам ставятся в соответствие элементы из того же набора, причем каждый только один раз, называется перестановкой из n элементов и количество перестановок обозначается .

Количество перестановок из n элементов

Чтобы установить справедливость этой формулы представим себе, что необходимо заполнить n пронумерованных ящичков n различными шарами по одному в каждый ящичек. Тогда, первый ящичек можно заполнить любым из имеющихся n шаров, второй ящичек  любым из оставшихся n–1 шаров, следующий  любым из оставшихся n–2 шаров и т.д. Перемножая эти числа, мы и получим уже приведенную выше формулу.

Пусть требуется произвести выборку k элементов из набора в n различных элементов и, при этом считаются различными выборки не отличающиеся составом выбранных элементов, а отличающиеся только порядком, в котором выбираются эти k элементов. Такие выборки называются размещениями из n элементов по k и, количество таких выборок обозначается . .

Установить справедливость этой формулы легко, если применить рассуждения аналогичные рассуждениям, приведенным при выводе формулы для перестановок из n элементов.

Выборки k элементов из набора в n элементов, когда различными считаются только выборки, имеющие разный состав, называются сочетаниями из n элементов по k . Их количество обозначается , и при этом  .

Замечание при вычислении количества сочетаний мы иногда сталкиваемся с необходимостью вычислить 0! . Чтобы не записывать для этих случаев отдельные формулы, условились считать, что . Оказалось, что такая договоренность не приводит к неприятностям, а позволяет вычислять и в тех случаях, когда в знаменателе стоит 0!.

Примеры:

1. Каково количество различных вариантов расположения команд в итоговой турнирной таблице футбольного чемпионата , если в нем принимают участие 16 команд Ответ Таких способов: .

2. Каково количество различных вариантов распределения призовых мест (золото, серебро, бронза) Ответ При распределении призовых мест важным является не только то кто из участников стал призером, но и каким именно.

Поэтому, получаем :

.

3. Каково количество различных вариантов определения двух неудачников сезона, занявших два последних места (покидают высшую лигу) Ответ При определении неудачников важным является только то кто из участников занял последние два места и абсолютно неважно какое именно , ибо все равно обе команды покидают элитный дивизион.

Поэтому, получаем :

.