Степенная, показательная, логарифмическая функции. Основные свойства и графики. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Теория.

Свойства операции возведения в степень:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

Свойства операции нахождения логарифма:

0. Основное логарифмическое тождество: . Свойство является, по сути дела, оп-

ределением операции логарифмирования.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

Показательной функцией называется функция .Е

е свойства:

1. Область определения .

2. Область значений .

3. .

4. ,

.

На приведенных рисунках видим графики показательных функций с различными основаниями: слева – с основаниями , справа – с основаниями .

При этом, сплошной линией изображены графики показательной функции с основаниями , а крестиками – с основаниями .

Показательная функция определена для любых вещественных значениях показателя степени и принимает только положительные значения, что и указано в свойствах 1 и 2 показательной функции. Графики всех показательных функций проходят через точку с координатами (свойство 3).

Свойство 4 показательной функции говорит о том, что при основаниях больших единицы показательная функция есть функция возрастающая, а при основаниях меньших единицы – убывающая.

Л

огарифмической функцией называется функция вида

, являющаяся функцией обратной показательной функции с тем же основанием.

Свойства логарифмической функции:

1. Область определения .

2. Область значений .

3. .

4

. ,

.

Свойства 1 и 2 показывают, что область определения и область значений показательной функции для логарифмической функции поменялись местами, что и естественно ибо это взаимно обратные функции.

Графики всех логарифмических функций проходят через точку с координатами (свойство 3).

Свойство 4 показательной функции указывает на то, что при основаниях больших единицы логарифмическая функция есть функция возрастающая, а при основаниях меньших единицы – убывающая.

На приведенных рисунках видим графики логарифмических функций с различными основаниями: сверху – с основаниями , снизу – с основаниями .

При этом, сплошной линией изображены графики логарифмической функции с основаниями , а крестиками – с основаниями .

И, наконец:

Общая схема решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

1. Переход к одному и тому же основанию во всех показательных (логарифмических) функциях, входящих в данное уравнение.

2. Переход к одному и тому же показателю степени ( выражению под знаком логарифма).

3. Замена показательной (логарифмической) функции новой переменной.

4. Решение получившегося уравнения или неравенства относительно новой переменной.

5. Обратная замена и возврат к показательным (логарифмическим) функциям.

6. Решение простейших показательных (логарифмических) уравнений или неравенств.

Задачи для решения :1*, 2*, …, 24*

Решить следующие показательные неравенства:

1*. 25^–х + 5^–х+1  50; 2*. ;

3*. ; 4*. 98 – ;

5*. ; 6*. ;

7*. ; 8*. ;

9*. ; 10*. ;

11*. ; 12*. ;

13*. ;

Решить следующие логарифмические неравенства:

14*. ; 15*. ;

16*. ; 17*. ;

18*. ;

19*. ; 20*. ;

21*. ; 22*. ;

23*. ; 24*. .

6.