Сложение вещественных чисел

Addition Real Nambers

Додавання дійсних чисел

Определим сложение и умножение числовых множеств полагая,

z |x y z= x+y }={x +y|x  y

z |x y z=xy}={xy |x  y

Эти определения годятся для любых чисел, хотя пока их можно было бы применять лишь к числам рациональным, для которых сумма и произведение уже определены.

Сложение и умножение числовых множеств коммутативны и ассоциативны, обладают нулем  множеством, состоящим из одного нуля 0, и единицей – множеством, состоящим из одной единицы  связаны между собой дистрибутивным законом, но, в общем, когда числовое множество не состоит из одного единственного элемента, у него нет противоположного и обратного

 

Z , (Z

 

Определим также множество  из противоположных элементов множества Х:

x|-x

Н

х

-х

а числовой прямой это множество симметрично множеству Х относительно начала координат

0

а также множество ^-1 из обратных элементов множества , если оно не содержит нуля:

^-1=x|x^-1 если 0 ¹

Если непустое множество Х, не является одноэлементным множеством, то его сумма с множеством - из его противоположных элементов тоже не является одноэлементным множеством она содержит 0 и вместе со всяким числом содержит противоположное ему число на числовой прямой эти множества симметричны относительно начала координат

x-y|x,y

 аа

аа)аааа.

Если непустое множество Х, не содержащее нуля, не является одноэлементным, то его произведение на множество Х^-1из его обратных элементов тоже не является одноэлементным множеством оно содержит 1 и вместе со всяким числом содержит обратное ему число.

Х^-x/y|x,y ^-1

^-1 а^-1а^-1^-1 

аа^аааa^

₊x|x и x>0}-множество положительных чисел из множества Х – положительная часть множества Х.

Х_-x|xx<0}множество отрицательных чисел из множества Х-отрицательная часть множества Х.

___ =(Х^-1_ \{0}=__

^-1Х, (^-1_ __ , ^__ _

На числовой прямой множества точек Х и Х^-1 связаны друг с другом инверсией относительно нульмерной единичной сферы |x|=1, представляющий собой двухточечное множество  _ и ^_ связаны инверсией относительно точки 1, а  и = _- инверсией относительно точки –1. Точки связанные инверсией относительно нульмерной единичной сферы х а) одного знака и б) произведение их расстояний до начала координат (модулей) равно 1.

Сложение вещественных чисел. Суммой вещественных чисел – сечений =^ и ^ называется вещественное число – сечение C|C^ внутренность конечного (верхнего) класса

которого есть, по определению сумма внутренностей нижних (верхних) классов слагаемых:



Другими словами сумма вещественных чисел – это вещественное число, которое заключено между всевозможными суммами рациональных чисел из внутренностей нижних классов слагаемых и всевозможных суммами чисел из внутренностей верхних классов слагаемых:

а, b, а^, b^ аb<y<a^b^

Корректность этого определения следует из следующих утверждений.

Множество действительно может рассматриваться как внутренность нижнего класса некоторого сечения; одновременно множество является внутренностью верхнего класса того же сечения. Сумма вещественных чисел определена данным определением для любых двух вещественных чисел и однозначно, т.е. не может быть разных вещественных чисел удовлетворяющих определению суммы для фиксированных слагаемых.

Действительно, вместе с любым числом а+b, a, b содержит все меньшие: а+br а+b-r а-ab-r)а, т. е. а-(а+b-r); после прибавления к обеим частям последнего неравенства числа b имеем r=а-(а+b-r)+bb.

В нет наибольшего числа, поскольку наибольших чисел нет по определению в и . Поэтому для а и b найдутся большие из тех же классов аа₁, а₂ bb₂ b₂.Поэтому для всякого числа а+b из  в этом множестве есть большее число а₂+b₁.

Аналогичные рассуждения показывают, что ^ можно рассматривать как верхний класс некоторого сечения.

Любое число из меньше любого числа из ^. Действительно, если а+b a+b^где А, b, а^^, b^^ и, следовательно, аа^ и bb^, то складывая последние неравенства получаем требуемое, а+b а^b^.

В и ^ можно найти числа, разность которых меньше любого наперед заданного положительного . По третьей теореме об аппроксимации есть числа а, а; b; b^ разность которых меньше /2: 0<а^а/2, 0b^b/2, откуда 0а^b^а+b)=(а^а)+(b^b)  Поэтому множество Q\(^ содержит не более одного элемента (числа), согласно второй теореме об аппроксимации. Если указанное множество пустое (=, то =С, ^C^ C|C^однозначно определенная сумма. Если Q\(^)={c},где сQ, то с=max(c}=min(^c так что (^^cсечение производимое числом с. Подчеркнем, что наличие такого с не означает, что числа-слагаемые  и  рациональны

Данное определение суммы вещественных чисел сохраняет сумму рациональных чисел неизменной. Точнее, сумма а+ сечений b и b производимых рациональными числами а₀ и b₀ есть сечение (а₀ +b₀)^* производимое их суммой:

а(а₀+b₀)*

a, b, а^^ b^^ аа₀а^b<b₀<b^ba_b₀<^b^. Поэтому а₀+b₀ удовлетворяет условием налагаемым на сумму и так как последняя определена однозначно, то она совпадает с сечением (а₀+b₀)^

В терминах сечений естественно получать лишь те свойства суммы, которые достаточны для аксиоматического построения теории вещественных чисел: ассоциативность, коммутативность, существование нуля, существование противоположного, свойства неравенств (порядка) относительно сложения.

1.Коммутативность: независимость суммы от порядка слагаемых.

2.Ассоциативность: независимость суммы от порядка выполнения действий (расстановки скобок).

3.Существование нуля: сечение 0^ производимое 0 обладает свойством 0^ прибавление нуля к любому числу не меняет его.

4.Существование противоположного: для любого числа ^ его сумма с противоположным -^ равна нулю (^

5.Неравенство между вещественными числами сохраняется при прибавлении к обеим его частям одного и того же числа:  

+=+, из-за коммутативности сложения рациональных чисел.

+ из-за ассоциативности сложения рациональных чисел.

^Q_-|Q₊Q_-Q_*. Для а=А^ имеем Q_-+ Q_+^^.

Действительно, в ^ нет наибольшего. Всякий элемент из Q меньше некоторого элемента из как сумма с отрицательным числом. Поэтому Q_-+. Для всякого элемента из найдется равный ему элемент из Q_-+точка числа Q_-+и, следовательно, Q_-+. В самом деле, если а то можно указать а₁ большее а: аа₁. Но так как а=а₁+(а-а₁), где а₁, а аа₂ т.е. а-а₂Q_-,то аQ_-.

Для произвольного сечения ^ множества (-А) и (-А из противоположных элементов для классов А и А^, непусты (ибо таковы сами А и А^), не пересекаются (по той же причине с учетом того что (-а)=(-а^)  а=а^), их объединение есть Q (так как AA^=Q,то rQ либо -r т.е. -r=а или  а значит  либо - r^ и следовательно r^ наконец, для r и ^^ имеем (-r) и следовательно (-r)r^ т.е. rr_. (-)+^=Q₊,+(-^Q_- т.е. ^ Легко понять, что (-) – внутренность класса (-А), (-а)+а^ для r  а такие что 0^-a< Тогда а₁^, причем a^a^a)=r  все числа из Q₊ содержатся в (-)+^.

. Сохранение строгого неравенства получается “алгебраически” из того что 