Двумерный объект

Имеется объект, уравнение теплопроводности которого можно представить в виде:

, (7.4)

,, ,

где a – заданный коэффициент, - шаг дискретизации по времени, , - шаги дискретизации по координатам x и y, соответственно.

Внешне данный объект можно представить в виде:

Рис. 7.7. Схематическое представление объекта.

Граничные условия, при которых следует решать уравнение (7.1), запишем в виде:

, , , S₁

, , , S₂

(7.5)

, , , S₃

, , , S₂

где - управляющее воздействие.

Функцией выхода будет температурное поле .

Таблица 7.3

Исходные данные:

Lx	Ly				a
0.9	0.1	0.1	0.02	0.01	0.0001	100

Решать данное уравнение будем методом конечных разностей, преобразуя, получим:

, (7.6)

Преобразуя, получим:

, (7.7)

.

Дискретизацию объекта по соответствующим координатам будем проводить согласно следующему рисунку:

Рис. 7.8. Дискретизация по пространственным координатам.

В дискретном виде граничные условия примут вид:

, , , S₁

, , , S₂

(7.8)

, , , S₃

, , , S₂

При этом уравнения (7.7) можно решить численными методами согласно блок-схеме,

представленной ниже.

Рис. 7.9. Блок-схема решения дифференциальных уравнений методом конечных разностей.

В результате моделирования получится трехмерный массив (по x, по y и по t) с данными. При этом мы можем построить графики переходных процессов в любой выбранной точке (см. рис. 7.10).

Рис. 7.10. Представление объекта методом сеток.

График переходного процесса в точке с координатами [i=4, j=5] имеет вид:

Рис. 7.11. График переходного процесса функции T[i=4, j=5, t].

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ:

Количество шагов дискретизации по координате распределения входного воздействия должно быть не менее 12-ти! Количество МОД входного воздействия выбрать не менее 5-ти.

№ зад.	Граничные условия			Параметры объекта
	S1	S2	S3	R1[м]	XL[м]	RД[м]
1	T	0	0	0.15	0.3	0.1 R1
3	q	0	0	0.2	0.5	0.2 R1
5	q	0	0	0.22	0.4	0.3 R1
7	q	1	0	0.12	0.6	0.4 R1
9	T	0	1	0.3	0.45	0.5 R1
11	T	1	0	0.15	0.2	0.4 R1
13	q	0	1	0.2	0.1	0.3 R1
15	q	0	0	0.15	0.6	0.2 R1
17	T	0	0	0.2	0.7	0.1 R1
19	q	0	1	0.22	0.8	0.2 R1
21	T	0	1	0.15	0.9	0.3 R1
№ зад.	Граничные условия			Параметры объекта
	S1	S2	S3	R1[м]	XL[м]	RД[м]
23	q	0	0	0.2	0.75	0.4 R1
25	T	0	1	0.22	0.25	0.5 R1
27	q	1	0	0.12	0.35	0.6 R1
29	q	0	1	0.3	0.45	0.7 R1
31	q	1	0	0.12	0.55	0.1 R1

Рис. 7.12.Объект управления.

R₁ – радиус, на котором распределено входное воздействие;

R_Д – радиус расположения датчиков;

S₁ – область распределения входного воздействия; S₂, S₃ – границы.

№ зад.	Параметры объекта
	S1	S2	S3	S4	Lx[м]	Ly[м]	LД[м]
2	Т	0	0	0	0.1	0.2	0.3 Ly
4	q	0	1	0	0.2	0.25
6	Т	1	0	0	0.3	0.3
8	q	1	0	1	0.5	0.2
10	q	0	0	1	0.6	0.25
12	Т	0	1	0	0.7	0.3
14	q	1	0	0	0.8	0.35
16	Т	1	0	0	0.9	0.32
18	Т	1	1	1	1.0	0.2
20	q	0	0	0	1.1	0.25
22	Т	0	1	1	1.2	0.3
24	Т	0	1	1	1.3	0.35
26	q	0	1	1	1.4	0.2
28	Т	0	1	1	1.5	0.25
30	q	0	1	1	1.6	0.3
32	Т	0	1	1	1.7	0.35

Рис. 7.13.Объект управления.

Входное воздействие на распределенный объект выбирается с учетом заданных граничных условий и представляется в виде ряда Фурье по пространственной координате.

Приведенные обозначения в таблицах:

q – обозначает тепловой поток, Т – обозначает температуру;

0 – обозначает, что граница имеет постоянную температуру равную 0;

1 – обозначает, что граница теплоизолированная.