Статическая точность системы

Относительно статической точности системы управления докажем следующее: если график статической кривой в плоскости задается уравнением , где K – заданное число, то статическая точность замкнутой системы равна .

Доказательство. Пусть на вход замкнутой системы действует воздействие

.

На выходе системы в стационарном режиме получим

,

где - статический коэффициент передачи замкнутой системы по , ,  составляющей входного воздействия. Этот коэффициент может быть представлен в виде:

, ,

где - статический коэффициент передачи разомкнутой системы.

Относительная статическая ошибка замкнутой системы  определяется соотношением

. (4.4)

Преобразуя (4.4), получим:

. (4.5)

Полагаем

, (4.6)

тогда уравнение (4.5) преобразуется к виду:

(4.7)

или

. (4.8)

Если статическая кривая задается уравнением

,

то условие (4.6) выполняется, а, следовательно, статическая точность системы равна , что и требовалось доказать.

Если , то, согласно (4.5), (4.8), 0.

Рассмотрим статический коэффициент усиления разомкнутой системы, состоящей из объекта и распределенного высокоточного регулятора (РВР).

Передаточная функция РВР, записанная с использованием обобщенной координаты (G), имеет вид:

(4.9)

В разделе 2 получены передаточные функции для ряда тепловых объектов, представимые в виде:

, (4.10)

,

где , a – заданный параметр, - заданные числа.

Переходя от формы записи передаточной функции в виде (4.10) к форме записи через обобщенную координату, получим:

, (4.11)

где .

Для определения статического коэффициента усиления разомкнутой системы положим в (4.9) и (4.11) s=0. Тогда для любого сколь угодно большого значения имеем , поскольку , . Рассматриваемому случаю соответствует бесконечный коэффициент усиления по всем разомкнутым контурам, для которых выполняется условие .

При больших значениях G (G>G_max) передаточная функция объекта приводится к виду

, (4.12)

где .

Исследуем поведение K(G) при G. Для этого положим, что s и G связаны соотношением , при G, s0, (где H –заданное число). Тогда с учетом введенного соотношения между s и G запишем (4.9) и (4.12) в виде:

(4.13)

.

Рассмотрим .

Используя правило Лопиталя, убеждаемся в том, что искомый предел равен нулю, что соответствует стремлению к нулю коэффициента усиления контуров разомкнутой системы, т.е. при , .

Примечание. Положим, что имеется входное воздействие

. (4.14)

В виде (4.14) может быть представлено любое физически реализуемое входное воздействие. Число N при этом выбирается, исходя из точности реализации входного воздействия.

Для обеспечения заданной статической точности () при входном воздействии (4.14) достаточно, чтобы для статической кривой разомкнутой системы выполнялось следующее условие:

,

,

где ( =1,  =1), ( =N,  =N).

Отметим, что если в системе используется РВР, то для входного воздействия (4.14) статическая ошибка равна нулю.