68. Свойства точечных оценок параметров, несмещенность, состоятельность, эффективность (определения).

Функция θˉˆ = θˆ (х₁, х₂, х₃,…,х_п) от результатов наблюдения случайной величины Х называется статистикой.

Точечной статистической оценкой числовой характеристики θ называется некоторая статистика θˉˆ = θˆ (х₁, х₂, х₃,…,х_п), используемая в качестве приближенного значения некоторой характеристики θ.

Характеристика должна быть несмещенной, т. е. при любом объеме выборки математическое ожидание характеристики было равно самой величине, это проявляется даже при малых числах (досимптотическое свойство): Мθˆ = θ.

Оценка является состоятельной, если она сходится по вероятности к характеристике θ (асимптотическое свойство): θˆ→θ, lim(n→∞)Р(|θˆ - θ| < ε)= =1.

Оценка называется эффективной, если среди всех прочих оценок она обладает наименьшим среднеквадратическим отклонением (наименьш σ).

69. Определение и свойства оценок: выборочного среднего, выборочной дисперсии и неправленой выборочной дисперсии.

Выборочное среднее.

Пусть X₁, …,Xn - выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве (Ω, F, P). Тогда её выборочным средним называется случайная величина

_n

неХ=1/n∑Xi

ⁱ⁼¹

Свойства:

Выборочное среднее - несмещённая оценка теоретического среднего: E[неХ]=E[Xi], i=1,…,n

Выборочное среднее - сильно состоятельная оценка теоретического среднего: неХ→ E[Xi]

почти наверное при n→∞

Выборочное среднее - асимптотически нормальная оценка. Пусть дисперсия случайных величин Xi конечна и ненулевая, то есть D[Xi]=σ²<∞, σ²≠0, i=1,…,n

Тогда √n(неХ-Е[X1]) → N(0, σ²)

по распределению при n→∞,

где N(0,σ2) - нормальное распределение со средним 0 и дисперсией σ2.

Выборочное среднее из нормальной выборки - эффективная оценка её среднего.

Выборочная дисперсия.

Выборочная дисперсия - это случайная величина

_{n n n}

Sn²=1/n∑ (Xi-неХ)²=1/n∑ (Xi²-(1/n∑Xi)²

^{i=1 i=1 i=1}

где символ неХ обозначает выборочное среднее.

Несмещённая (исправленная) дисперсия - это случайная величина

_n

S²=1(n-1) ∑ (Xi-неХ)²

ⁱ⁼¹

Свойства:

Выборочная дисперсия является теоретической дисперсией выборочного распределения. Более точно, пусть F(x) - выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного ώ € Ώ функция F(ώ ,x) является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Дисперсия этого распределения равна Sn²(ώ).

Обе выборочные дисперсии являются состоятельными оценками теоретической дисперсии. Если [Xi]=σ²<∞, то Sn²→ σ² и S²→ σ²,

где → обозначает сходимость по вероятности.

Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия несмещённая: E[Sn²]=(n-1)/n σ² ,и E[S²]=σ².

Выборочная дисперсия нормального распределения имеет распределение хи-квадрат. Пусть Xi~N(μ,σ²), i=1,2,… Тогда (n-1)S²/ σ²=n (Sn²)/ σ² ~ χ²(n-1)