55. Доказать локальную предельную теорему Муавра-Лапласа.

Теорема: если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то Рn(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближённо равна (тем точнее, чем больше n) значению функции Pn(k)=1/(корень из npq)*фи(z). Здесь Фи(z)=1/(корень из 2пи)*е в степени –х*2/2, z=k – np/(корень из npq).

Док-во: Рn(k) = P(k<=k<k+1) = 1\√(2п) ∫(от z1 доz2) e^(-z^2\2)dz = (z2-z1)e^(-z^2\2)\ √(2п) = 1\корень из npq * φ(z)

56. Доказать интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Функция распределения центрированной и нормированной биномиальной СВ при n→∞ стремится к функции распределения стандартной нормальной СВ:

P{((μ-np)/(√npq))<x}→1/(√2π) ^x_-∞∫e^{(z^2)/2}dz

Доказательство будет проведено в терминах производящих функций, т.е. будет доказано, что mz_n(t) → m_z(t)=e^{(t^2)/2}, где Zn=(μ-np)/(√npq)

e^{(t^2)/2} – производящая функция стандартной нормальной CВ Z~N(0,1)

Стандартную биномиальную величину представим в виде суммы центрированных альтернативных величин:

Zn=(μ-np)/( √npq)=1/(√npq) ΣXi-np=1/(√npq) Σ(Xi-p)

Поскольку Xi-p= (-p q)

(q p), то

m_xi-p(t)=Me^(Xi-p)t=e^-ptq+e^qtp.

Используя представление производящей функции суммы независимых CВ в виде произведения производящих функций слагаемых, получаем

_n

m_Σ(xi-p)(t)=Πm_xi-p(t)=(e^-ptq+e^qtp)ⁿ

ⁱ⁼¹

Применяя теперь выражение для производящей функции CВ Σ(Xi-p), умноженной на константу c=1/(√npq), найдем

mz_n(t)=(qe ^{(pt)/(√npq)}+pe^{(qt)/(√npq)})ⁿ

Разложим в ряд экспоненты, представленные в выражении:

qe^{(pt)/(√npq)}=q-q (pt)/(√npq) + q(p²t²)/(2npq)+o(1/n),

pe^{(qt)/(√npq)}=p+p(qt)/(√npq)+ p(q²t²)/(2npq)+o(1/n).

После сложения получаем

qe^{(pt)/(√npq)}+ pe^{(qt)/(√npq)}=1+t²/(2n)+o(1/n), где o(1/n) – бесконечно малая, стремящаяся к нулю быстрее, чем (1/n)

Подставив выражение в равенство, окончательно получаем:

mz_n(t)=[1+t²/2n+ o(1/n)ⁿ → e^{t^2/2}=m_z(t)

58. Доказать неравенство Чебышева.

Если CВ Х имеет матожидание и дисперсию, то для любого ε>0

P{|X-MX|≥ε}≤DX/ε²

Докажем это неравенство для абсолютно непрерывной СВ. для дискретных СВ доказательство аналогично, только интеграла заменяются соответствующими суммами.

Обозначив МХ=а, имеем:

P{|X-MX|≥ε}= ∫f(x)dx

^|x-a|≥ε

Область интегрирования |x-a|≥ε можно записать в эквивалентной форме (x-a)²/ ε²≥1, поэтому в этой области ∫1*f(x)dx≤∫(x-a)²/ ε² f(x)dx

^{|x-a|≥ε |x-a|≥ε}

Последний интеграл с неотрицательной подынтегральной функцией может только возрасти, если расширить область интегрирования до всей прямой:

1/ (ε²)∫(x-a)²f(x)dx≤ 1/(ε²)^∞_-∞∫(x-a)²f(x)dx =

^|x-a|≥ε

=DX/ ε²

Собирая последовательно все полученные неравенства, получаем неравенство Чебышева

59.Доказать теорему Чебышева.

Если независимые СВ Х₁,Х₂,…,Хn имеют матожидания MXi=a_i и ограничение в совокупности дисперсии DXi=σ₁²≤ σ², то разность средних арифметических СВ и средних арифметических их матожиданий сходится по вероятности к нулю:

неХn-неa_n→0

Доказательство:

Применим неравенство Чебышева к СВ неХn-неa_n. Поскольку

_{n n} М(неХn-неa_n)= М (1/nΣx_t-1/n Σa_i)= 1/nΣ(MXi-a_i) =0, ^{i=1 i=1}

D(неХn-неa_n)=DнеХn=D(1/nΣx_i)= 1/n²ΣDXi=1/n²Σ σ²_i≤ σ²/n, то

P{|неХ_n-неа_n|≥ε}≤ D(неХn-неа_n)/ ε²≤ σ²/n ε² →0

Следовательно,

lim P {|неХn-неа_n|≥ ε}=0

ⁿ→∞

Т.о. действительно неХn-неa_n→0