24. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.

Пусть дана дискретная CВ с рядом распределения, тогда матожиданием этой ДСВ называется сумма попарных произведений значений CВ на их вероятности.

n

∑ ξi * Pi

i=1

Матожидание задает среднее значение CВ с учетом вероятности этих значений.

Свойства:

1. Если с=const, то матожидание c=const

2. M (ξ + c) = M(ξ) + с

3. ξ, η – две СВ, то М(ξ + η) + М(ξ) + М(η)

4. Две СВ ξ , η называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какие значения приняла другая СВ.

Для НСВ М(ξ* η) = М(ξ) * М(η)

M(ξ)=np

25. Дисперсия дискретной св и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение св.

Дисперсия характеризует разброс значений СВ около матожидания.

Dξ = M((ξ-Mξ)²)

Свойства:

1. С; DC=0

2. D(ξ+c)=Dξ

3. D(c*ξ)=c²*D(ξ)

D(-ξ)= D(ξ)

4. Если ξ и η – НСВ, то D(ξ± η) = Dξ+Dη

D(ξ) = M(ξ²) – M²(ξ)

D(ξ) = npq

Среднее квадратичное отклонение СВ – корень квадратный из дисперсии.

σ ξ = √D(ξ)

σ (ξ) = √npq

26. Математическое ожидание непрерывной cb и его свойства

Матожидание ξ заданное функцией распределения f(x)

M ξ = ^+∞_-∞∫x * f(x)_dx

Свойства:

5. Если с=const, то матожидание c=const

6. M (ξ + c) = M(ξ) + с

7. ξ, η – две СВ, то М(ξ + η) + М(ξ) + М(η)

8. Две СВ ξ , η называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какие значения приняла другая СВ.

Для НСВ М(ξ* η) = М(ξ) *М(η)

Mξ = b+a/2

27. Дисперсия непрерывной cв и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение св.

Dξ = ^∞_-∞∫(x-M(ξ))² * f(x)_dx

Свойства:

5. С; DC=0

6. D(ξ+c)=Dξ

7. D(c*ξ)=c²*D(ξ)

D(-ξ)= D(ξ)

8. Если ξ и η – независимые СВ, то D(ξ± η) = D ξ +D η

Dξ=M(ξ²)-M²(ξ) = ^∞_-∞∫x²f(x)_dx-M²(ξ)

Dξ = (b-a)²/12

σξ = b-a / 2√3

28. Начальные и центральные моменты св. Выражение матожидания и дисперсии через моменты.

Начальным моментом k-ого порядка, который обозначается как Vk, называется матожидание k-й степени СВ:

Vk=Mx^k, k=1,2, … Отсюда D(X) = v2 – v1^2

Центральным моментом k-ого порядка, который обозначается как μ_k, называется матожидание k-ой степени отклонения CD от своего матожидания:

μ_k =M(x-Mx)^k

Например, второй центральный момент это дисперсия:

μ₂ = M(x-Mx)² = Dx

30. На основе закона распределения альтернативно распределенной cв получить выражение для мат.Ожид-я биноминально распр. Св.

Биномиальную CВ Х (число положительных исходов в n испытаниях по схеме Бернулли) можно представить как сумму альтернативных СВ, каждая из которых Хi описывает результат i-го испытания в схеме Бернулли (число положительных исходов в одном испытании):

_n

Х=ΣХi

ⁱ⁼¹

Опираясь эту формулу получим: МХ=М(ΣXi)= ΣMXi=np

т.е. матожидание биномиальной СВ равно произведению числа испытаний на вероятность положительного исхода.

31. На основе закона распределения альтернативно распределенной cв получить выражение для дисперсии биноминально распределенной св.

Поскольку биномиальная СВ может быть представлена как сумма независимых альтернативных величин, то

_{n n}

DX=D(ΣXi)= ΣDxi=npq

^{i=1 i=1}

т.е. дисперсия биномиальной СВ равна произведению числа испытаний на вероятности положительного и отрицательного исходов.