80. Назначение и суть метода моментов и метода максимального правдоподобия.

Метод моментов нахождения оценок в математической статистике - это способ построения оценок, основанный на уравнивании теоретических и выборочных моментов.

С помощью этого метода можно оценить неизвестные параметры распределения. Метод моментов приравнивает моменты теоретического распределения к моментам эмпирического распределения (распределения, построенного по наблюдениям). Из полученных уравнений находятся оценки параметров распределения. Например, для распределения с двумя параметрами первые два момента (среднее и дисперсия распределения, соответственно, и ) будут приравнены первым двум эмпирическим (выборочным) моментам (среднему и дисперсии выборки, соответственно, несмещенным оценкам x-bar и s**2), и затем будет произведено оценивание.

Метод максимума правдоподобия - это общий метод оценивания параметров генеральной совокупности с помощью максимизации правдоподобия выборки. Правдоподобие выборки из n наблюдений x1, x2, ..., xn в случае дискретного распределения переменных x1, x2, ..., xn описывается функцией совместного распределения p(x1, x2, ..., xn). Если x1, x2, ..., xn имеют непрерывное распределение, правдоподобие L выборки из n наблюдений x1, x2, ..., xn описывается совместной плотностью распределенияf(x1, x2, ..., xn).

Пусть L - это правдоподобие выборки, где L является функцией параметров θ1, θ2, ... θk. Тогда оценками максимального правдоподобия θ1, θ2, ... θk называются значения параметров k θ1, θ2, ... θk, максимизирующие функцию L.

81. Сформулируйте основной принцип статистической проверки гипотез.

Статистической гипотезой называется гипотеза о параметрах известного закона распределения (параметрические) или о виде закона (критерии).

Для проверки гипотез подбирается некоторый критерий К (специально подобранная СВ, закон распределения которой известен). По выборочной данной вычисляется значение критерия наблюдаемого. Если К набл принадлежит критической области

Кнабл>Ккр прав, Кнабл<Ккр лев, то гипотеза Но отклоняется.

81. Что такое ошибка 1-го рода.

Ошибка 1-го рода заключается в том, что гипотеза Но отклоняется, в то время как она верна.

d = P (H₁/Но) вероятность ошибки 1-го рода.

83. Что такое ошибка 2-го рода.

Гипотеза Н1 отклоняется, в то время как она верна.

β = P(Ho/H₁)

84. Что такое критическая область.

При построении критерия мы разбиваем совокупность возможных значений статистики критерия на две части так, что если наблюденное значение статистики попало в одну из них, которая и называется критической областью, мы отвергаем нулевую гипотезу и принимаем альтернативную, в противном же случае мы говорим, что у нас нет оснований отвергнуть ее.

Таким образом, критическая область – это совокупность значений статистики критерия, которые “говорят”, что нулевую гипотезу следует отвергнуть.

85. Что такое уровень значимости.

Статистическая значимость результата представляет собой оцененную меру уверенности в его "истинности" (в смысле "репрезентативности выборки"). Уровень значимости это показатель, находящийся в убывающей зависимости от надежности результата. Более высокий уровень значимости соответствует более низкому уровню доверия к найденной в выборке зависимости между переменными.

86. Что такое мощность критерия.

Мощностью критерия σ называют величину 1-α₂, где α₂= α₂(δ), — вероятность ошибки второго рода критерия σ.

87. Какой критерий называется наиболее мощным.

Критерий называется наиболее мощным, если из всех возможных критериев с заданным условием значимости α он обладает наибольшей мощностью, т.е. если его критическая область S* является такой, что Р(х € S*/Н1)=max P(x € S/Н1), где максимум берется по тем S для которых Р(х € S/Но) = α

88. Что такое критерий согласия.

Критериями согласия называют критерии, предназначенные для проверки простой гипотезы Н1={F=F1} при сложной альтернативе H2= {H1 неверна}

89. Сформулируйте критерий согласия χ².

В случае, когда гипотеза выдвигается о виде закона распределения, для критерия согласия требуется большой объем выборки.

По методу моментов находим оценки параметров, подставляем найденные оценки в соответствующий закон распределения, находим вероятности Pi = P (ξ € [хi-1; xi))

n_i^T = n*pi кол-во данных, которые должны были бы попасть в интервал

_K

χ²=∑((n_i-n_i^T)²/n_i^T)

ⁱ⁼¹

χ² зависит от 1-огопараметра m=(k-1-s), s- число параметров неизвестного закона распределения, k- число интервалов

χ²_набл> χ²кр прав, то Но отклоняется

χ²_набл< χ²кр прав, то Но принимается