- •1. Приведите классическое определение вероятности и укажите, при соблюдении каких условий оно применимо
- •Е сли появление события в непременно влечет за собой появление события а, то как в этом случае соподчинены противоположные им события а и в?
- •Приведите пример какого-либо опыта с конечным числом элементарных исходов, в условиях которого нельзя исчислять вероятности событий по формуле классического определения вероятности.
- •9. Приведите известные вам формулы комбинаторики, которые используются при непосредственном исчислении вероятности по ее классическому определению.
- •10. Приведите определение условной вероятности.
- •11. Зависимость и независимость двух событий (определение).
- •23. Ряд распределений дискретной случайной величины и его свойство.
- •20. Сформулируйте условия, при выполнении которых применяется теорема Байеса. Приведите формулировку и краткое доказательство этой теоремы.
- •21. Функция распределения случайной величины и ее свойства.
- •22. Функция плотности распределения вероятности и ее свойства.
- •24. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.
- •25. Дисперсия дискретной св и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение св.
- •26. Математическое ожидание непрерывной cb и его свойства
- •27. Дисперсия непрерывной cв и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение св.
- •28. Начальные и центральные моменты св. Выражение матожидания и дисперсии через моменты.
- •На основе закона распределения альтернативно распределенной cв получить выражение для мат.Ожид-я биноминально распр. Св.
- •На основе закона распределения альтернативно распределенной cв получить выражение для дисперсии биноминально распределенной св.
- •Случайная величина принимает целые значения в промежутке от 0 до n с равной вероятностью. Вывести выражение для матожидания этой св.
- •42. Предельным законом для какого распределения является распределение Пуассона. Какие значения может принимать св, распределенная по закону Пуассона.
- •43. Плотность распределения и функция распределения равномерной св, ее числовые характеристики.
- •44. Плотность распределения и функция распределения показательной св, ее числовые характеристики.
- •45. Плотность распределения и функция распределения нормальной cb (распределение Гаусса), ее числовые характеристики.
- •46. Функция Лапласа. Ее свойства.
- •47. Вероятность попадания нормально распределенной cв на отрезок, правило «трех сигм».
- •49. Числовые характеристики св, распределенных по равномерному, показательному и нормальному законам (значения матожидания и дисперсии)
- •50. Дайте определение совместной функции распределения двумерной св и укажите ее свойства. Обоснуйте эти свойства и приведите примеры их выполнения
- •Сформулируйте определение и напишите формулу для вычисления корреляционного момента (коэффициента ковариации) двух св. Докажите, что для независимых cв его значение равно нулю.
- •Доказать локальную предельную теорему Муавра-Лапласа.
- •Доказать интегральную теорему Муавра-Лапласа.
- •Доказать неравенство Чебышева.
- •59.Доказать теорему Чебышева.
- •60. Понятие генеральной совокупности, выборки из нее. Представление выборки в виде вариационного ряда. Определение вариационного ряда.
- •Эмпирическая функция распределения, ее свойства, способ построения по выборке.
- •Понятие оценок числовой характеристики или параметра св. Свойства оценок.
- •63. Нахождение несмещенной оценки генеральной средней (матожидания) св
- •Нахождение несмещенной и смещенной оценок генеральной дисперсии св.
- •Понятие гистограммы частот, способ построения, пример.
- •Понятие точечных и интервальных оценок. Определения. Примеры.
- •68. Свойства точечных оценок параметров, несмещенность, состоятельность, эффективность (определения).
- •Определение и свойства оценок: выборочного среднего, выборочной дисперсии и неправленой выборочной дисперсии.
- •Выборочный коэффициент ковариации (формула).
- •Доказать, что выборочное среднее является состоятельной и несмещенной оценкой матожидания.
- •Доказать, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии.
- •Какими понятиями определяется интервальная оценка параметра? Какая существует между ними связь в виде формулы?
- •76. Построение интервальной оценки (доверительного интервала) (с надежностью γ) матожидания нормально распределенной cв при известной дисперсии (вывод).
- •Построение интервальной оценки (доверительного интервала) ( с надежностью γ) матожидания нормально распределенной cв при неизвестной дисперсии (вывод).
- •Интервальная оценка дисперсии cв по выборке при известном и неизвестном матожидании (формулы).
- •Вывести оценку требуемого объема выборки для построения доверительного интервала заданной длины для матожидания в случае нормального распределения.
- •Назначение и суть метода моментов и метода максимального правдоподобия.
- •Сформулируйте основной принцип статистической проверки гипотез.
- •Что такое ошибка 1-го рода.
- •83. Что такое ошибка 2-го рода.
- •84. Что такое критическая область.
- •90. Модель парной линейной регрессии, уравнение и основные вероятностные допущения
- •92. Виды нелинейных зависимостей, сводящихся к линейной регрессионной модели и соответствующие им предварительные преобразования исходных данных
Приведите пример какого-либо опыта с конечным числом элементарных исходов, в условиях которого нельзя исчислять вероятности событий по формуле классического определения вероятности.
Ограниченность классического определения вероятности в частности заложена в равновозможности исходов. для примера можно привести классический кубик, только утяжеленный с какой-то конкретной грани. понятно, что при таком условии вероятность выпадания каждой грани не будет одинакова, следовательно мы не сможем использовать классическое определение вероятности
9. Приведите известные вам формулы комбинаторики, которые используются при непосредственном исчислении вероятности по ее классическому определению.
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок
Pn = n!, где n! = 1 * 2 * 3 ... n.
При этом, удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений
Amn = n! / (n-m)!
Ann = n!
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний
С mn = n! / ((n - m)!m!).
10. Приведите определение условной вероятности.
Условной вероятностью события В при условии наступления события А (Р (В/А) = РА(В) называется вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А произошло.
11. Зависимость и независимость двух событий (определение).
Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности.
РА(В)=Р(В) Р (А ∩ В) = Р(В∩А)=Р(В) * РВ(А)
Р(А)*РА(В)=Р(В)*РВ(А)
Р(А)*Р(В)=Р(В)*РВ(А)
Р(А)=РВ(А)
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
12. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий (формулировка).
Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(А∩В) = Р(А)* РA(В) (для зависимых событий)
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей: Р(А∩В) = Р(А)* Р(В) (для независимых событий)
13. Сформулируйте условие, при котором для вычисления вероятности Р(А∩В) следует применять теорему умножения для зависимых событий. Приведите формулировку этой теоремы.
При условии того, что из одного события «вытекает» другое. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
Р(А∩В) = Р(А)* РA(В) (для зависимых событий)
14. Сформулируйте условие, при выполнении которого можно утверждать, что событие А не зависит от события В
Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А не зависит от события В, если вероятность А при условии В равна вероятности безусловной А.
15. Сформулируйте условие, при выполнении которого можно утверждать, что событие А зависит от события В.
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
16. Сформулируйте условие, при выполнении которого можно утверждать, что событие В зависит от события А.
Событие В называется зависимым от события А, если вероятность события В меняется в зависимости от того, произошло событие А или нет.
Докажите, что два несовместимых событии А и В (с положительными вероятностями наступления) всегда являются зависимыми.
Для 2х несовместных событий: А*В=Ø, для 2х независимых событий: Р(А*В) = Р(А)*Р(В). Т.к. А*В=Ø, значит Р(А*В) ≠ Р(А)*Р(В) следовательно Р(А*В) = Р(А)*Р(В\А), т.е АиВ- зависимы
18. Сформулируйте условия, при выполнении которых можно утверждать, что гипотезы Н1, Н2, Нn образуют полную группу событий.
Гипотезы Н1, Н2, Нn образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и вместе образуют достоверное событие.
19. Сформулируйте условия, при выполнении которых можно для вычисления вероятности некоторого события А можно использовать формулу полной вероятности. Приведите формулировку и краткое доказательство формулы полной вероятности.
Пусть соб-е А может наступить при усл появления одного из несовместных событий H1…Hn, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих вероятности этих событий и условные вер-ти РH1(А)… события А.
Теорема. Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий Н1,Н2,…Нn, равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события А.
n
Р(А) = Σ Р(Нi)Р(А/Нi)
i=1
Доказательство.
Т.к. события Н1,Н2,…Нn образуют полную группу событий, то событие А можно представить в виде следующей суммы:
n
А=АН1+АН2+…+АНn= Σ АНi
i=1
Т.к. события Н1,Н2,…Нn несовместны, то и события AHi тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:
n
Р(А) = Σ Р(АНi)
i=1
При этом Р(АНi) = Р(Нi)Р(А/Нi)
n
Окончательно:Р(А) = Σ (Нi) Р(А/Нi)
Теорема доказана.