42. Предельным законом для какого распределения является распределение Пуассона. Какие значения может принимать св, распределенная по закону Пуассона.
Распределение Пуассона является предельным законом для биномиального распределения.
Пусть проводятся испытания Бернулли. Пусть n – число испытаний ξ Р(А) = р. По формуле Бернулли вероятность того, что событие наступит Рn(K) = Pn(ξ=k) =
CnkPk(1-p)n-k
Если n -> ∞, а р ->0 и сделать чтобы np = const = λ. Можно доказать, что биномиальное распределение стремится к Пуассоновскому.
M ξ = λ. D ξ = λ. σξ=√ λ.
43. Плотность распределения и функция распределения равномерной св, ее числовые характеристики.
случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на отрезке [a,b], где a,b € R, если её плотность fX(x) имеет вид:
fx(x)={1/(b-a),x €[a,b]
{0,
x €
[a,b]
Интегрируя определённую выше плотность, получаем функцию распределения:
{0,x<a
F(x)=P(X≤x)={(x-a)/(b-a),a≤x<b
{1, x≥b
Mξ = (b+a)\2
Dξ = (b-a)^2\12
σξ = (b-a)\ 2√3
44. Плотность распределения и функция распределения показательной св, ее числовые характеристики.
Показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.
Случайная величина X имеет показательное распределение с параметром λ > 0, если её плотность имеет вид
fx(x)={λe-λx, x ≥0,
{0, x < 0
Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:
Fx(x)={1-e-λx, x≥0
{0, x < 0
Mξ = 1/λ
Dξ = 1/λ2
σξ = 1/λ
45. Плотность распределения и функция распределения нормальной cb (распределение Гаусса), ее числовые характеристики.
Непрерывная CB ξ называется распределенной по нормальному закону, если
f(x)=1/(σ√)e-((x-a)^2)/(2σ^2), где σ>0, а и σ – параметры этого закона
Mξ =a Dξ =σ2 σξ = σ
График пл-ти норм распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Ф-ция f(x) = (1\σ *корень из 2π) *е^( - (x-a)^2\2 σ^2) определена на всей оси х, расположена над осью 0х (принимает при всех значениях х положителбные значения), предел = 0 (при |x| стрем-ся к беск-ти), гр-к ф-ции симметричен относительно прямой х = а, при х = а максимум = 1\σ *корень из 2π.
46. Функция Лапласа. Ее свойства.
Ф(х)=хо∫1/(√2) e –(z^2)/2 dz
С
войства
функции:
1) Ф(х) х2>x1 Ф(х2) > Ф(х1)
2) Ф (-х) = - Ф(х)
3) Ф (∞) = ½
47. Вероятность попадания нормально распределенной cв на отрезок, правило «трех сигм».
Вероятность попадания нормально распределенной CВ на отрезок
Р (ξ € (α;β)) = Ф((β-а)/σ) – Ф((α-а)/σ
Пр-ло 3х сигм: P(|X-a| <3σ) = P (a-3σ<X<a+3σ) = Ф0((a+3σ)-a\ σ) - Ф0((a-3σ)-a\ σ) = Ф0(3) – Ф0(-3) = 2Ф(3) = 0.9973, т.е. вер-ть того, что отклонение по абсолютной в-не будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0.9973. Если распредел-е изучаемой СВ неизвестно, но условие, указанное в привидённом правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая в-на распределена норм; в противном случае – нет.