14 Передатнi функції схем з операцiйними пiдсилювачами

14.1 Співвідношення для визначення передатних функцій

Щоб визначити передатні функції складних кіл, використовують метод вузлових напруг. Вище (лекція 13) показано, що згідно з цим методом операторний коефіцієнт передачі за напругою кола становить:

, (14.1)

де ,  алгебраїчні доповнення операторної матриці провідностей кола ; a, b  номери вхідного і вихідного вузлів схеми.

В узагальненому вигляді метод вузлових напруг можна поширити на схеми з операцiйними пiдсилювачами (ОП). Iдеальний ОП є джерелом напруги, яке керується напругою (ДНКН), з коефiцiєнтом пiдсилення , який прямує до нескiнченностi. Реальний ОП  це багатокаскадний транзисторний пiдсилювач в iнтегральному виконаннi, у якого i практично виконуються вимоги: вхiдний опiр , вихiдний опiр . Умовне позначення ОП у диференційному і триполюсному увімкненні (рис.14.1а) та еквiвалентні схеми зображено на рис.14.1б,в. На схемах iнвертувальний вхiд ОП позначено символом p, прямий вхiд  q, вихiд  r.

Оскiльки ОП має , вхiднi струми ; . Враховуючи в схемi (рис.14.1б) скінчене значення вихiдного опору , можна перейти до джерела струму (рис.14.1в). Змiна напряму джерела обумовлена змiною знака напруг у формулі для струму джерела.

а) б) в)

Рисунок 14.1

З урахуванням властивостей ОП ( , , ) формула (14.1) для схем з операційним підсилювачем матиме вигляд [7]:

. (14.2)

Для схеми з ОП у триполюсному увiмкненнi ( ) коефiцiєнт передачi розраховується за формулою

. (14.3)

Для каскадного з’єднання n ОП у триполюсному увiмкненнi (рис.14.2) коефiцiєнт передачi розраховується за формулою

. (14.4)

Рисунок 14.2

Для каскадного з’єднання n ОП у диференцiйному увiмкненнi (рис.14.3) матимемо:

. (14.5)

Рисунок 14.3

Розраховуючи коефіцієнт передачі за формулами (14.2)  (14.5), необхідно враховувати властивості невизначеної матриці провідностей схеми з ОП:

1. Сума коефiцiєнтiв будь-якого стовпця матрицi дорiвнює нулю:

, . (14.6)

2. Сума елементiв будь-якого рядка матрицi дорiвнює нулю:

, . (14.7)

3. З (14.6) i (14.7) виходить, що визначник матрицi також дорiвнює нулю: . (14.8)

4. Заземленню n-го вузла вiдповiдає викреслення n-го рядка i n-го стовпця.

В результаті матимемо прив'язану (неособливу, скорочену) матрицю . При цьому визначник не дорiвнюватиме нулю.

5. Об'єднанню вузлiв k та l вiдповiдає пiдсумовування k-го та l-го рядкiв, k-го та l-го стовпцiв. Новим рядку i стовпцю присвоюється iндекс k.

6. Правило визначення алгебраїчного доповнення:

, (14.9)

де a,c  номери рядкiв; b, d  номери стовпцiв;  сума iндексiв;  кiлькiсть iнверсiй, тобто кiлькiсть послiдовних перестановок номерiв рядкiв (стовпцiв) для встановлення iндексiв у порядку збiльшення.

7. Правило визначення сумарного алгебраїчного доповнення: одиночнi iндекси алгебраїчного доповнення, що пiдсумовуються, вказують на номер рядкiв (стовпцiв), якi викреслюються. Перший iндекс у дужках вказує на номер рядка (стовпця), елементи якого переносяться зі знаком, що стоїть за ним, до рядка (стовпця) з номером, який вiдповiдає другому iндексу в дужках.

Iнодi замiсть сьомої властивостi застосовують правила

; (14.10)

; . (14.11)

14.2 Приклади розрахунку передатних функцій схем з ОП

Приклад 14.1. Визначити операторний коефiцiєнт передачi для схеми (рис.14.4).

1. Пронумеруємо вузли i встановимо вiдповiднiсть мiж цифровими та функцioнальними позначеннями iндексiв: a = 1; b = 4, r = 4; p = 3; q = 5.

2. Для схеми без ОП маємо . З урахуванням ОП згiдно з (14.3) отримуємо .

Рисунок 14.4

3. Складемо матрицю схеми з ОП

.

4. Перевiримо на рiвнiсть нулю суми елементiв всiх рядкiв та стовпцiв.

5. Викреслимо п'ятий рядок i п'ятий стовпець, оскiльки згiдно з правилом 4 заземленню вузла вiдповiдає викреслення рядка i стовпця.

6. Розрахуємо алгебраїчнi доповнення за правилом (14.9):

.

Для визначення чисельника викреслюємо 4-й i 3-й стовпцi та 1-й i 4-й рядки. Сума iндексiв складає  = 1+4+4+3 = 12, кiлькiсть iнверсiй  = 1. Отже, чисельник матиме знак "мiнус". Запишемо алгебраїчне доповнення чисельника з урахуванням знака

.

Для визначення знаменника викреслюємо 1-й i 3-й стовпцi та 1-й i 4-й рядки. Сума iндексiв дорiвнює  = 1+1+4+3 = 9, iнверсiй нема. Отже, матимемо

.

Пiдставивши цi значення до формули , матимемо:

. (14.12)

Отже, являє собою ДРФ виду (13.6) з коефiцiєнтами ; ; ; . Цей вираз вiдповiдає ланцi другого порядку типу фільтру нижніх частот (ФНЧ).

Розглянутий приклад дозволяє зробити такі висновки:

1. Якщо вiдомi параметри кола R i C, можна пiдставити їх значення в (14.12) i розрахувати , тобто розв'язати задачу аналiзу.

2. Якщо вiдомий вигляд функцiї та числовi значення коефiцiєнтiв , , можна розв'язати задачу синтезу i розрахувати параметри кола R, C.

3. Перехiд до частотних характеристик здiйснюється за загальними правилами: ;

 АЧХ ;  ФЧХ .

Приклад 14.2. Визначити для схеми (рис.14.5).

1.Пронумеруємо вузли i встановимо вiдповiднiсть мiж позначеннями iндексiв: a = 1; b = 6, r = 4; p = 2; q = 3; r = 6; p = 5; q = 7.

2. Згiдно з даною нумерацiєю запишемо формулу для коефiцiєнта передачi для каскадного з’єднання першого ОП у диференцiйному увiмкненнi та другого ОП у триполюсному увiмкненнi:

.

3. Складемо матрицю схеми з ОП

.

4. Перевiримо на рiвнiсть нулю суми елементiв всiх рядкiв та стовпцiв.

5. Викреслимо сьомий рядок i сьомий стовпець, оскiльки згiдно з правилом 4 заземленню вузла вiдповiдає викреслення рядка i стовпця.

6. Викреслимо рядки 1,4,6 та стовпець 5, а стовпцi 2 та 3 об'єднаємо за правилом 7 (тобто перенесемо елементи стовпця 2 до стовпця 3). Тодi скорочена матриця матиме вигляд:

.

Рисунок 14.5

7. Розрахуємо алгебраїчнi доповнення за правилом 6 (14.9):

.

Для визначення чисельника викреслюємо другий стовпець. За правилом 7 знак сумарного алгебраїчного доповнення визначається першим iндексом у дужках (тобто 2). Тодi сума iндексiв складатиме  = 1+6+4+2+6+5 = 24, кiлькiсть iнверсiй  двi: iндекси стовпцiв треба послiдовно переставити 625  265  256. Отже, чисельник матиме знак "плюс":

.

8. Знайдемо вираз для знаменника: ;

=

.

Отже, .

14.3 Запитання та завдання для самоперевірки

1. Дати визначення ідеального операційного підсилювача (ОП). Навести параметри реального ОП.

2. Чим відрізняються диференційне та триполюсне увімкнення ОП?

3. Завдяки яким властивостям ОП для розрахунку коефіцієнта передачі за напругою можна використовувати приблизну формулу (14.2)?

4. Назвати властивості невизначеної матриці провідностей схеми з ОП. Як одержують скорочену матрицю провідностей?

5. Пояснити, як складається формула для розрахунку коефіцієнта передачі за напругою у випадку каскадного з’єднання схем з ОП.

6. Знайти операторний та комплексний коефіцієнт передачі за напругою активного RC-фільтра (рис.14.6а), АЧХ і ФЧХ. Дано: нФ, кОм, кОм.

Відповідь: .

7. Знайти операторний та комплексний коефіцієнт передачі за напругою активного RC-фільтра (рис.14.6б), обчислити резонансну частоту та максимальне значення АЧХ. Дано: пФ, пФ, кОм.

Відповідь: ; кГц; .

а) б)

Рисунок 14.6