4 Основнi теореми теорiї електричних кiл. Енергетичні співвідношення у колі постійного струму

Властивості лінійних електричних кіл, які є загальними для кіл будь-якої складності, сформульовані у теоремах і спрощують задачу аналізу кола. Розглянемо докладніше найпоширеніші з них, обмежуючись тільки формулюванням для інших теорем.

4.1 Теорема накладання (суперпозицiї)

У лiнiйному електричному колi, яке мiстить джерела ЕРС, контурнi струми (струми у вiтках) є лiнiйними функцiями контурних ЕРС. Згiдно з (3.4)

,

де  частковий струм, що виникає в m-му контурi вiд дiї тільки джерела , тобто при ;

при ;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

при .

Отже, струм в m-му контурi електричного кола дорiвнює алгебраїчнiй сумi часткових струмiв, що викликаються в цьому контурi кожною ЕРС, яка дiє окремо: .

Аналогiчно для електричного кола, яке мiстить джерела струму, для вузлових напруг (напруг на елементах вiток) за формулою (3.8) можна одержати спiввiдношення .

Якщо ввести поняття: дія (збудження)  внесення джерела до електричного кола; вiдгук (реакцiя)  поява струму (напруги) у колi, загальне формулювання теореми накладання буде таке: вiдгук кола на декiлька збуджень дорiвнює алгебраїчній сумi вiдгукiв вiд кожного збудження, яке дiє окремо.

Приклад 4.1. Для схеми (рис.4.1а) за методом накладання знайти струм , якщо вiдомі значення всiх елементiв кола.

1. Припустимо, що , . Виключаємо iз схеми джерело струму (розмикаємо) та знаходимо частковий струм методом еквiвалентних перетворень, користуючись законом Ома та формулою розкиду струмiв (рис.4.2а).

; .

а) б)

Рисунок 4.1

2. Припустимо, що , . Виключаємо джерело ерс (закорочуємо) та знаходимо частковий струм (рис.4.2б): .

а) б)

Рисунок 4.2

3. Знаходимо повний струм . Знак "мiнус" струму пояснюється тим, що його напрям не збiгається з позитивним напрямом струму у наданiй схемi.

4.2 Теорема зворотностi (взаємностi)

Теорема зворотностi виконується для лiнiйних електричних кіл з одним джерелом. Теорема може бути сформульована у двох варiантах: стосовно джерел ЕРС та струму. Обмежимось першим варiантом:

ЕРС, що увiмкнена до m-го контуру, викликає в s-му контурi такий саме струм, який викличе така сама ЕРС у m-му контурi, якщо її перенести до s-го контуру.

Теорема зворотностi може бути сформульована iнакше: вiдношення вiдгуку ( ) до збудження ( ) iнварiантне (незмiнне) до змiни мiсць вiдгуку та збудження.

4.3 Теорема компенсацiї

Теорема формулюється так: струми в електричному колi не змiняться, якщо будь-який опiр замiнити джерелом ЕРС, величина якої дорiвнює спаду напруги на цьому ж опорi, а напрям є протилежним напряму струму в опорi.

Слушнiсть теореми компенсацiї випливає з того, що будь-який з доданкiв (спадiв напруг), якi складають рiвняння за другим законом Кiрхгофа, може бути перенесений до iншого боку рiвняння з протилежним знаком, тобто розглядається як додаткова ЕРС, напрямлена назустрiч струму. Наприклад, для схеми (рис.4.1а) можна записати таке рiвняння:

, або .

Вiдповiдно до останнього рiвняння, схема виглядатиме iнакше (рис.4.2б), тобто додаткове джерело можна розглядати як залежне джерело напруги (див. підрозділ 1.1).

4.4 Теорема про еквiвалентне джерело

Теорема про еквiвалентне джерело (генератор) застосовується тодi, коли треба визначити струм в однiй вiтцi складного кола. За допомогою цiєї теореми складне електричне коло з довiльною кiлькiстю джерел електричної енергiї приводиться до одноконтурної або двовузлової схеми з єдиним джерелом, що спрощує розрахунок кола. Iснує два варiанти теореми.

4.4.1 Теорема про еквiвалентне джерело напруги (теорема Тевенена)

Будь-який лiнiйний активний двополюсник можна замiнити еквiвалентним джерелом напруги з ЕРС, яка дорiвнює напрузi холостого ходу на затискачах двополюсника, i внутрiшнiм опором, який дорiвнює вхiдному опору пасивного двополюсника.

Схематично активний і пасивний двополюсники показано на рис.4.3а. Робота у режимi холостого ходу (кола або генератора) означає роботу у ненавантаженому станi, коли вихiдний струм дорiвнює нулю.

а) б)

Рисунок 4.3

Отже, згiдно з теоремою, є доцільною еквiвалентна замiна (рис.4.3б), причому , . За принципом еквiвалентностi зовнiшнi струми (напруги) не змiнюються: струм у навантаженнi однаковий для обох схем :

.

Приклад 4.2. За теоремою Тевенена визначити струм в опорi (рис.4.4а).

а) б) в)

Рисунок 4.4

Розв'язання задачi складається з таких етапiв:

1. замiнюємо активний двополюсник вiдносно вузлiв m, n еквiвалентним джерелом напруги з параметрами , (рис.4.4б);

2. визначаємо значення ЕРС як напругу холостого ходу при розмиканні для схеми (рис.4.4в):

; ;

; ;

3. розраховуємо вхiдний опiр пасивного двополюсника з боку вузлiв m, n (нагадаємо, що для переходу вiд активного до пасивного двополюсника необхiдно iдеальнi джерела ЕРС розiмкнути, а iдеальнi джерела струму замкнути):

; ;

3. розраховуємо шуканий струм за законом Ома за схемою (рис.4.4б):

.

4.4.2 Теорема про еквiвалентне джерело струму (теорема Нортона)

Будь-який лiнiйний активний двополюсник можна замiнити еквiвалентним джерелом струму, задавальний струм якого дорiвнює струму короткого замикання мiж затискачами двополюсника, та внутрiшнiм опором, який дорiвнює вхiдному опору пасивного двополюсника.

Режим короткого замикання (кола або генератора) означає роботу у ненавантаженому станi, коли вихiдна напруга дорiвнює нулю, а вихiднi затискачi закороченi.

Отже, за теоремою Нортона еквiвалентні двi схеми (рис.4.5а). За умови , вiдповiдно до принципу еквiвалентностi .

а) б)

Рисунок 4.5

Приклад 4.3. Для схеми (рис.4.4а) визначити струм , користуючись теоремою Нортона.

а) б)

Рисунок 4.6

1. За схемою (рис.4.6б) струм короткого замикання дорiвнюватиме:

; ; ; ; .

Вхiдний опiр пасивного двополюсника знайдено вище у прикладі 4.2.

2. За схемою (рис.4.6а) знаходимо .

4.5 Енергетичнi спiввiдношення у колi постiйного струму

4.5.1 Баланс потужностей.

Формулювання: алгебраїчна сума потужностей, що вiддають всi джерела енергiї у колi, дорiвнює арифметичнiй сумi потужностей, витрачених на опорах схеми.

Рівняння балансу потужностей можна подати у такому виглядi:

, (4.1)

де , ,  кiлькiсть джерел ЕРС, джерел струму і резисторiв.

Знак потужностi джерела залежить вiд напряму струму через джерело ЕРС або напруги на затискачах джерела струму. Правило визначення знаку проiлюстроване на рис.4.7.

Рисунок 4.7

4.5.2 Умова узгодження джерела з навантаженням за активною потужнiстю

Умова узгодження забезпечує максимальну потужнiсть , яка споживається у навантаженнi.

Розглянемо довiльний лiнiйний двополюсник. Замiнимо його за теоремою Тевенена еквiвалентним джерелом напруги (рис.4.3б). З'ясуємо, при якому значеннi опору навантаження потужнiсть , що витрачається у ньому, буде максимальною: .

Щоб знайти екстремум, розв'яжемо рiвняння :

.

Оскiльки знаменник є додатною величиною i не може дорiвнювати нулю, прирiвняємо нулю чисельник. Тодi ;

. (4.2)

Формула (4.2) вiдповiдає умовi узгодження. При цьому максимальна потужнiсть становитиме:

.

При цьому потужнiсть, яка генерується джерелом, буде такою:

,

де  струм навантаження у режимi узгодження.

Розглянемо поняття коефiцiєнта корисної дiї (ККД). ККД – це вiдношення корисної потужностi до потужностi джерела P:

.

Якщо , значення ККД буде таким: .

За умови , залежностi ККД i потужностей P, вiд струму у навантаженнi зображено на рис.4.8а, а залежність  на рис.4.8б.

а) б)

Рисунок 4.8

4.6 Запитання та завдання для самоперевірки

1. У чому полягає принцип накладання? Для яких кіл він застосовується?

2. Чому дорівнюватиме струм у колі, зображеному на рис.4.1а, якщо при заданих параметрах схеми В; мА; кОм; кОм: а) змінити напрям усіх джерел на протилежні; б) змінити напрям тільки джерела ?

Відповідь: а) мА; б) мА.

3. Розрахувати методом накладання струм у колі, схема якого зображена на рис.4.1а, зберігши вихідні дані попереднього завдання.

Відповідь: мА.

4. Пояснити поняття вхідного опору активного двополюсника. Як перейти від активного двополюсника до пасивного?

5. Для активного двополюсника за результатами вимірювань напруга холостого ходу і струм короткого замикання склали відповідно 10 В і 10 мА. Визначити струм в опорі навантаження 1 ком, який увімкнений до затискачів двополюсника?

Відповідь: 5 мА.

6. Якщо увімкнути до активного двополюсника опір навантаження 100Ом, напруга на цьому опорі становить 1 В. Визначити вхідний опір активного двополюсника, якщо напруга холостого ходу на його затискачах дорівнює 3 В.

Відповідь: 200 Ом.

7. У колі, схему якого зображено на рис.4.4а ( мА; кОм; кОм; кОм; кОм), знайти вхідний опір і напругу холостого ходу активного двополюсника, вважаючи навантаженням опір кОм. Розрахувати методом еквівалентного генератора струм .

Відповідь: 6 кОм; 18 В; 1 мА.

8. Сформулювати умову узгодження джерела з навантаженням за активною потужністю. Яке при цьому буде значення коефіцієнта корисної дії?

9. За яким критерієм здійснюється узгодження джерела з навантаженням: а) у слабкострумових колах; б) у потужних енергетичних пристроях?

10. Визначити потужність джерел і перевірити виконання балансу потужностей для кола (рис.4.1а), параметри якого наведено у завданні 2.

Відповідь: 148,5 мВт.

11. У чому полягає принцип взаємності? Для яких кіл можна застосувати даний принцип?

12. Використовуючи принцип взаємності, визначити струм в схемі, яка зображена на рис.4.2а ( В; кОм; кОм).

Відповідь: 0,4 мА.

13. Сформулювати теорему компенсації. Чим пояснюється можливість заміни ділянки кола джерелом ЕРС?