7 Задача аналiзу електричного кола при синусоїдній дiї. Частотнi характеристики електричних кiл

7.1 Задача аналізу електричного кола при синусоїдній дії

Оскiльки закони Ома i Кiрхгофа в комплекснiй формi справедливi для електричних кiл синусоїдного струму, всi методи розрахунку електричних кiл (МКС, МВН, теорема про еквівалентний генератор тощо) також можна використовувати, але для комплексних значень струмiв, напруг та опорiв.

Зробимо якiсний аналiз електричного кола синусоїдного струму на прикладi схеми (рис.7.1а). Перейдемо до еквiвалентної схеми (рис.7.1б), де зроблено позначення ; . Тодi розрахунковi формули для розв'язання задачi аналiзу будуть такi: ; ; ;

; ; ; .

а) б)

Рисунок 7.1

Розглянутий приклад можна проаналiзувати також за допомогою векторної дiаграми (рис.7.2). Для цього слiд задатися вектором струму (напруги) для найвіддаленішої дiлянки електричного кола, а потiм провести геометричнi побудови на пiдставi законiв Ома та Кiрхгофа. Послiдовнiсть дiй може бути такою:

1) задаємо вектор ;

2) будуємо вектори та , враховуючи, що перший збiгається за фазою з вектором , а другий випереджає вектор на кут ;

3) вектор знаходимо за першим законом Кiрхгофа: ;

4) знаючи , будуємо вектор , який збiгається за фазою з (тобто, цi вектори паралельнi), i вектор , який випереджає вектор струму за фазою на кут ;

5) за другим законом Кiрхгофа: ; .

6) оскiльки зсув фаз мiж вектором та струмом , робимо висновок, що вхiдний опiр кола має ємнiсний характер.

Pисунок 7.2

Аналiз електричних кiл при синусоїднiй дiї показує, що амплiтуди та початковi фази напруг i струмiв у колi залежать не тiльки вiд амплiтуди та початкової фази вхiдної дiї, але й вiд частоти коливань. Щоб знайти реакцiю електричного кола на сигнал зi змiнною частотою, використовують частотнi характеристики електричних кiл, до яких належать амплiтудно-частотна (АЧХ) i фазо-частотна (ФЧХ) характеристики.

7.2 Комплекснi передатнi функцiї електричних кiл

Для аналiзу частотних властивостей електричних кiл використовують комплекснi передатнi функцiї. Щоб дати визначення передатної функцiї, подамо електричне коло умовно у виглядi дво- та чотириполюсника i дамо декiлька визначень.

Чотириполюсник  схема з двома парами затискачiв. Вхiдна (вихiдна) величина  струм (напруга) на затискачах, що розглядаються як вхiд (вихiд) кола.

Отже, комплексна передатна функцiя електричного кола  вiдношення вихiдної величини до вхiдної, виражене в комплекснiй формi:

, (7.1)

де  комплексна амплiтуда вихiдної величини (вiдгуку);

 комплексна амплiтуда вхiдної величини (дії).

Примiтка. 1) у лiтературi вживається також iнше визначення:  комплексний коефiцiєнт передачi; 2) у подальшому, знаходячи , будемо замiняти вiдношення комплексних амплiтуд (7.1) вiдношенням комплексних дiючих значень. Це не змiнює величини , але спрощує запис.

Якщо коло є чотириполюсником, то комплекснi передатнi функцiї у залежностi вiд типу вхiдної та вихiдної величини можуть бути такi :

1. Якщо ; , то  комплексний коефiцiєнт передачi за напругою.

2. Якщо ; , то  комплексний коефiцiєнт передачi за струмом.

3. Якщо ; , то 

комплексний передатний опiр.

4. Якщо ; , то  комплексна передатна провiднiсть.

Якщо коло є двополюсником, комплексна передатна функцiя набуває змiсту комплексної вхiдної функцiї. Вхiдна функцiя – опiр або провiднiсть кола з боку входу, вираженi в комплекснiй формi.

Якщо ; , то  комплексна вхiдна провiднiсть.

Якщо ; , то  комплексний вхiдний опiр.

Комплексна передатна функцiя може бути виражена в показниковiй формi:

, (7.2)

де  модуль комплексної передатної функцiї;

 аргумент комплексної передатної функцiї.

Амплiтудно-частотна характеристика (АЧХ)  залежнiсть вiд частоти модуля вхiдної, вихiдної чи передатної комплексних функцiй кола.

Фазочастотна характеристика (ФЧХ)  залежнiсть вiд частоти аргумента вхiдної, вихiдної чи передатної комплексних функцiй кола.

При графiчному поданнi частотних характеристик електричного кола, як правило, зображують окремо графiки АЧХ i ФЧХ. Але iнодi АЧХ i ФЧХ подають у виглядi одного графiка. Це можливо завдяки тому, що кожному значенню частоти вiдповiдає деяке значення у виглядi комплексного числа або вектора на комплекснiй площинi. Із змiною частоти кiнець вказаного вектора описує деяку криву (рис.7.3).

Рисунок 7.3

Крива, яка з'єднує кiнцi векторiв , зветься годографом передатної функцiї (годографом амплiтудно-фазової характеристики). Годограф будують при змiнюваннi частоти вiд нуля до нескiнченностi.

Приклад 7.1. Визначити комплексний коефiцiєнт передачі за напругою , АЧХ i ФЧХ для схеми (рис.7.4а).

Згiдно з визначенням: . Задача розв'язується у такiй послiдовностi: 1) задаємося ; 2) визначаємо комплексне значення вихiдної напруги за законом Ома:

;

3) знаходимо ;

4) подаємо в показниковiй формi, знаходимо АЧХ i ФЧХ (рис.7.4б,в):

.

а) б) в)

Рисунок 7.4

7.3 Запитання та завдання для самоперевірки і контролю засвоєння знань

1. Провести якісний аналіз кола (рис.7.1а) за допомогою векторної діаграми, помінявши місцями індуктивність та ємність.

2. Дати визначення комплексної передатної функції кола. Назвати види передатних функцій. Коли передатна функція є вхідною функцією?

3. Визначити комплексний коефіцієнт передачі за напругою, АЧХ і ФЧХ кола, схема якого зображена на рис.7.4а, вважаючи відгуком напругу на опорі. Параметри кола: R = 100 Ом, С = 10 нФ. Побудувати графіки АЧХ і ФЧХ, визначити значення частоти , за якою амплітуда напруги на виході кола становить 0,707 амплітуди напруги на вході.

Відповідь: .

4. Зберігши умову попередньої задачі, визначити значення частоти , за якою амплітуда напруги на виході кола становить 0,8 амплітуди напруги на вході. Знайти зсув фаз між вхідною і вихідною напругами на цій частоті.

Відповідь: 212,2 кГц,  36,87⁰.

5. Визначити комплексний коефіцієнт передачі за напругою, АЧХ і ФЧХ кола, схема якого зображена на рис.7.4а, вважаючи відгуком напругу на опорі R = 100 Ом, замінивши ємність індуктивністю 0,1 мГн.

Відповідь: .

6. *Визначити в загальному вигляді комплексну передатну функцію, АЧХ і ФЧХ кола, схема якого зображена на рис.7.4а, увімкнувши паралельно ємності індуктивність і вважаючи дією напругу на вході, а відгуком  напругу на опорі. Побудувати у загальному вигляді графіки АЧХ і ФЧХ.

Вказівка. Будуючи графік ФЧХ, розглянути два випадки: , (скористатися векторною діаграмою).

Відповідь: ; ;

,

де ; .

7. *Визначити в загальному вигляді комплексну передатну функцію, АЧХ і ФЧХ кола, схема якого зображена на рис.7.4а, увімкнувши послідовно з ємностю індуктивність і вважаючи дією напругу на вході, а відгуком  напругу на реактивній ділянці кола. Побудувати у загальному вигляді графіки АЧХ і ФЧХ.

Вказівка. Будуючи графік ФЧХ, розглянути два випадки: , (скористатися векторною діаграмою).

Відповідь: ; ; де ;

.