3 Методи контурних струмiв і вузлових напруг

Для розгалужених електричних кiл метод рiвнянь Кiрхгофа приводить до необхiдностi розв'язання великої кiлькостi рiвнянь. Зменшити кiлькiсть рiвнянь дозволяють потужнiші методи аналiзу електричних кiл, зокрема, методи контурних струмiв (МКС) і вузлових напруг (МВН).

3.1 Метод контурних струмiв

За допомогою МКС аналізують кола, розв'язуючи не N (кількість віток) рівнянь, а (кількість незалежних контурів) для схем, які містять ідеальні і реальні джерела напруг (рис.1.1в, рис.2.9а). За наявності джерел зі струмом (рис.2.10а), останні слід замінити їх еквівалентною схемою (рис.2.9а).

Розглянемо цей метод на прикладi схеми (рис.3.1). Пронумеруємо вузли i визначимо кiлькiсть незалежних контурiв: . Оберемо для аналiзу як незалежнi контури I, II, III. Задамо довiльно напрям струмiв у вiтках i напрям обходу контурiв.

Рисунок 3.1

За другим законом Кiрхгофа складемо рiвняння для першого контуру

.

Виразимо струми "внутрiшнiх" вiток , через струми "зовнiшнiх" вiток , , . За першим законом Кiрхгофа для вузлiв 1 та 4 запишемо:

; , звiдки ; .

Тодi рiвняння для першого контуру прийме вигляд:

.

Згрупувавши доданки, матимемо

. (3.1)

Введемо поняття контурних струмiв, контурних ЕРС та опорiв. Контурний струм  струм у головній вiтцi, номер якої збігається з номером контуру і яка є зовнішньою ( , , ).

Iншими словами, це струми зовнiшнiх вiток, якi нібито замикаються у вiдповiдних контурах. Для зручностi вважатимемо, що напрям контурного струму збiгається з напрямом обходу вiдповiдного контуру. Взагалi контурнi струми  це умовнi величини, але іноді вони можуть збiгатися iз струмами вiток схеми.

Контурна ЕРС k-го контуру дорiвнює алгебраїчнiй сумi всiх ЕРС, якi входять до цього контуру. Для розглядуваного прикладу

; ; .

Власний опiр k-го контуру дорiвнює сумi всiх опорiв, якi утворюють цей контур: ; ; .

Взаємний опiр k-го та s-го контурiв дорiвнює опору вiтки, яка входить у цi контури, iз знаком "плюс", якщо напрями контурних струмiв у ній збiгаються, та зi знаком "мiнус", якщо вони протилежнi. Для схеми (рис.3.1) маємо ; ; .

З урахуванням введених позначень рiвняння (3.1) буде таким:

.

Записавши аналогiчно рiвняння для другого та третього контурiв, одержуємо систему рiвнянь, з якої можна визначити будь-який контурний струм:

, (3.2)

або у матричнiй формi

, (3.3)

де  квадратна симетрична матриця опорів, кiлькiсть рядкiв та стовпцiв якої дорiвнює n;

;  матриці-стовпці контурних струмів та ЕРС відповідно.

Отже, МКС дозволяє розв'язати задачу аналiзу кола з кiлькiстю рiвнянь n = N  M + 1. Знайдемо з (3.2) перший контурний струм

,

де , , ,  визначник та алгебраїчнi доповнення матрицi опорiв.

Аналогiчно можна знайти будь-який (m-й) контурний струм у схемi:

, (3.4)

де n = N  M + 1  кiлькiсть незалежних контурiв; m = 1,..., n; s = 1,..., n;

,  визначник та алгебраїчнi доповнення матрицi опорiв;

 елемент матрицi-стовпця контурних ЕРС.

Струми внутрiшнiх вiток визначаються як лiнiйна комбiнацiя контурних струмiв. Для схеми (рис.3.1) ; ; .

3.2 Метод вузлових напруг

Розподiл струмiв та напруг в електричному колi не змiниться, якщо один з вузлiв (будь-який) заземлити, тобто зробити його потенцiал нульовим.

Базисним зветься вузол, потенцiал якого дорiвнює нулю. Напруги iнших вузлiв схеми, якi вiдраховуються вiдносно базисного вузла, звуться вузловими напругами. Прийнято вузловi напруги спрямовувати до точки заземлення (рис.3.2a). Струм у вiтцi, яка злучає вузол з базисним вузлом, визначається за законом Ома: ; . Напруга мiж вузлами, не один із яких не є базисними, визначається за другим законом Кiрхгофа (рис.3.2б): ; .

а) б)

Рисунок 3.2

Аналiзуючи електричне коло за методом МВН, необхiдно провести еквiвалентну замiну джерел ЕРС джерелами струму. Проведемо таку замiну для електричного кола (рис.3.1). Позначимо струми джерел , а струми у вiтках  (рис.3.3).

Рисунок 3.3

Оберемо як базисний вузол 4, та запишемо за першим законом Кiрхгофа рiвняння для вузла 1:

, (3.5)

або .

Скористаємось законом Ома та виразимо струми через вузловi напруги:

; ; .

Пiдставивши цi значення до останнього рiвняння, матимемо:

;

.

Згрупувавши доданки, запишемо

. (3.6)

Позначимо  власна провiднiсть k-го вузла,  яка дорiвнює сумi провiдностей вiток, прилеглих до k-го вузла ( , , );

 взаємна провiднiсть k-го та s-го вузлiв,  яка дорiвнює сумi провiдностей вiток, що злучають цi вузли, iз знаком "мiнус" ( , ; );

 вузловий струм (будь-якого) k-го вузла, який дорiвнює алгебраїчнiй сумi струмiв незалежних джерел, якi збiгаються у k-му вузлi ( , , ). Струми джерел, що втікають у вузол (витікають із вузла) входять до вузлового струму зі знаком «плюс» («мінус»).

Враховуючи цi позначення, запишемо рiвняння (3.6) у виглядi:

.

Записавши аналогiчнi рiвняння для вузлiв 2 та 3, отримуємо систему:

. (3.7)

або в матричнiй формi

,

де , ,  матриці провiдностей, вузлових струмiв та вузлових напруг, відповідно.

Визначимо з системи (3.7) вузлову напругу будь-якого вузла за формулою:

, (3.8)

де ,  визначник та алгебраїчнi доповнення матрицi провiдностей [G]; n = M  1  кiлькiсть незалежних вузлiв; m = 1,...,n ; s = 1,..., n.

Напруги на провідностях, які не сполучені з базисним вузлом, визначаються як лiнiйна комбiнацiя вузлових напруг. Для схеми (рис.3.3)

; ; .

Струми вiток визначаються за законом Ома: ; ; ; ; ; .

Струми вiток вихiдної схеми (рис.3.1) , визначаються за першим законом Кiрхгофа з урахуванням обраних напрямiв. Наприклад, для вузла 1' (рис.3.3) маємо: , звiдки ; для вузла 3': , звiдки , тощо.

3.3 Запитання та завдання для самоперевірки

1. Яку перевагу мають МКС і МВН у порівнянні з методом рівнянь Кірхгофа? Запропонуйте критерій вибору МКС або МВН для розрахунку певного кола?

2. Пояснити поняття контурних струмів, опорів, ЕРС.

3. Пояснити поняття вузлової напруги, базисного вузла, вузлового струму джерел.

4. Як визначається величина і знак взаємного опору (провідності) в МКС (МВН)?

5. Користуючись МКС, розрахувати струми віток кола, схема якого зображена на рис.3.1, якщо В; В; ; кОм; кОм; кОм; кОм; кОм; кОм.

Відповідь: мА; мА; мА; мА; мА; мА.

6. Опори кОм утворюють «зірку» (рис.2.7). Між вузлами 1 і 2, 3 і 2, 3 і 1 увімкнено ідеальні джерела струму: мА (напрям струмів джерел вказаний стрілками між індексами). Визначити струми віток, використовуючи метод вузлових напруг.

Відповідь: ; мА.

7. Знайти величину ЕРС та струми у вітках кола (рис.3.4), якщо В, В, В, кОм, кОм, кОм, кОм, А.

Відповідь: В, мА; мА, мА, мА, мА.

Рисунок 3.4