6 Закони ома та кiрхгофа в комплекснiй формi

Розглянемо застосування методу комплексних амплiтуд для електричних кiл з послiдовним та паралельним з’єднанням елементiв R, L і C.

6.1 Послiдовне з’єднання елементiв R, L, C

Розглянемо електричне коло, яке складається з послiдовно злучених елементiв R, L, C. Запишемо згiдно з другим законом Кiрхгофа рiвняння для миттєвих значень спадiв напруг: , або

. (6.1)

Якщо перейти до комплексно-часових функцiй , та пiдставити їх значення до рiвняння (6.1), знайдемо вираз для комплексних амплiтуд:

. (6.2)

З урахуванням виразiв (5.3)  (5.5) отримуємо другий закон Кiрхгофа в комплекснiй формi:

. (6.3)

Якщо винести за дужки значення , матимемо

,

де  реактивний опiр кола; R  активний опiр;

 комплексний опiр кола.

З урахуванням введених означень матимемо рiвняння

, , (6.4)

які подають закон Ома в комплекснiй формi.

Комплексний опiр можна подати у тригонометричнiй i показниковiй формах:

, , (6.5)

де  модуль комплексного опору (повний електричний опiр кола);  аргумент ;  активний опiр;  реактивний опiр.

З формули (6.4) знаходимо комплексний опiр кола :

,

де Z  повний опiр;  аргумент комплексного опору.

Розглянемо геометричну iнтерпретацiю закону Ома та другого закону Кiрхгофа в комплекснiй формi за допомогою векторної дiаграми.

Векторна дiаграма  зображення векторiв на комплекснiй площинi для одного й того ж самого моменту часу з дотриманням фазових спiввiдношень. Момент часу може бути будь-який, оскiльки взаємна орiєнтацiя векторiв не змiнюється.

Розглянемо векторнi дiаграми для двох випадкiв.

1) , . Позначимо в рiвняннi (6.3)  напругу на реактивнiй дiлянцi кола. Напруга на активному опорi збiгається за фазою зi струмом , напруга на iндуктивностi випереджає струм на кут , а напруга на ємностi вiдстає вiд струму на кут (рис.6.1а). Отже, загальна напруга випереджає струм за фазою на кут . Додатний фазовий зсув вiдповiдає iндуктивному характеру опору кола .

2) , (рис.6.1б). У цьому випадку реактивний опiр кола має ємнiсний характер ( ), отже загальна напруга вiдстає за фазою вiд струму на кут . Вiд'ємний фазовий зсув вiдповiдає ємнiсному характеру опору .

а) б)

Рисунок 6.1

6.2 Паралельне з’єднання елементiв R, L, C

Знайдемо комплексну форму законiв Ома i Кiрхгофа для електричного кола, яке складається з паралельно злучених елементiв R, L, C. Запишемо рiвняння за першим законом Кiрхгофа для миттєвих значень струмiв:

. (6.6)

Переходячи вiд миттєвих значень i, u до комплексно-часових функцiй:

;

та пiдставляючи цi значення до (6.6) одержимо рiвняння:

. (6.7)

Враховуючи, що ; ; , знаходимо вираз для першого закону Кiрхгофа в комплекснiй формi:

. (6.8)

Якщо винести в (6.7) значення за дужки, отримаємо

,

де  реактивна провiднiсть кола; G  активна провiднiсть кола;  комплексна провiднiсть кола.

Так само, як i формула (6.4), рiвняння

, (6.9)

подають закон Ома в комплекснiй формi.

Комплексна провiднiсть може бути подана у тригонометричнiй та показниковiй формах:

; , (6.10)

де  модуль комплексної провiдностi або повна електрична провiднiсть;  аргумент комплексної провiдностi ;  активна провiднiсть;  реактивна провiднiсть.

На пiдставi (6.9) запишемо: . Тодi

.

Отже, повна провiднiсть  це скалярна величина, яка дорiвнює частцi вiд дiлення дiючого (амплiтудного) значення струму у двополюснику на дiюче (амплiтудне) значення напруги на його затискачах. Аргумент комплексної провiдностi з точнiстю до знака визначає фазовий зсув у колi.

Зобразимо векторнi дiаграми. На рис.6.2 подана геометрична iнтерпретацiя на комплекснiй площинi рiвняння (6.8). Рис.6.2а вiдповiдає варiанту, коли реактивна провiднiсть кола має iндуктивний характер ( ), струм вiдстає за фазою вiд напруги, а напруга випереджає струм за фазою на кут . Рис.6.2б вiдповiдає випадку, коли реактивна провiднiсть кола має ємнiсний характер ( ), напруга вiдстає за фазою вiд струму на кут (струм випереджає напругу).

а) б)

Рисунок 6.2

6.3 Енергетичнi спiввiдношення у колi синусоїдного струму

Припустимо, що через дiлянку електричного кола, яка має опiр Z, проходить струм . Спад напруги на цьому опорi дорiвнюватиме . Миттєва потужнiсть, яка надходить до кола, становитиме:

.

Активна потужнiсть, яка надходить до розглядуваної дiлянки кола, буде такою:

. (6.11)

або

, (6.12)

де  повна потужнiсть, яка дорiвнює добутку дiючих значень напруги та струму, що стосуються одного i того ж самого входу;

 коефiцiєнт потужностi, який дорiвнює вiдношенню активної потужностi до повної.

Розраховуючи параметри електричних кiл, користуються також поняттям реактивної потужностi, яка обчислюється за формулою

(6.13)

i є мiрою споживання (або вироблення) реактивного струму.

Вимiрюється у вольт-амперах реактивних [ВАр]. Реактивна потужнiсть є додатною при (iндуктивне навантаження) i вiд'ємною при (ємнiсне навантаження).

Подамо потужнiсть в комплекснiй формi. Для цього перейдемо вiд миттєвих значень напруги та струму до комплексних амплiтуд:

; .

Введемо поняття комплексно-спряжених амплітудного та діючого значень струму: i (рис.6.3а). Домножимо комплексне дiюче значення U на комплексно-спряжене значення :

.

а) б) в)

Рисунок 6.3

Величина , яка дорiвнює добутку комплексного діючого значення напруги на комплексно-спряжене діюче значення струму, зветься комплексною потужнiстю. Комплексна потужнiсть може бути записана в показниковiй формi:

, (6.14)

де P  активна потужнiсть; Q  реактивна потужнiсть синусоїдного струму, яка дорiвнює уявнiй частинi комплексної потужностi. З (6.14) виходить, що модуль комплексної потужностi дорiвнює повнiй потужностi, а аргумент  зсуву фаз мiж напругою та струмом (рис.6.3б).

Знайдемо вираз для балансу потужностей у колi синусоїдного струму. Вище (лекція 4) була знайдена умова балансу потужностей у колi постiйного струму згiдно з якою алгебраїчна сума потужностей джерел електричної енергiї дорiвнює сумi активних потужностей , якi витрачаються в опорах:

.

Можна показати [5], що у колi синусоїдного струму ще й сума реактивних потужностей, якi надходять у коло, дорiвнює сумi реактивних потужностей, якi споживаються, тобто .

Отже, для синусоїдного кола умова балансу потужностей матиме вигляд:

; ; .

6.4 Умова узгодження джерела з навантаженням

у колi синусоїдного струму

Нехай потрiбно знайти комплексний опiр навантаження так, щоб при заданому комплексному опорi джерела забезпечувалася передача максимуму активної потужностi вiд джерела до навантаження (рис.6.3в). Активна потужнiсть, яка споживається навантаженням, становить . Враховуючи, що ; , матимемо .

Комплексний та спряжений струм у навантаженнi дорiвнюватимуть:

; .

Тодi

; .

Аналiзуючи вираз для потужностi , робимо висновок, що максимальна активна потужнiсть у навантаженнi

має мiсце за умови . Це перша умова узгодження. Вище (в пункті 4.5.2) було показано, що за умови . Тодi .

Отже, умовою передачi максимальної активної потужностi до навантаження у колi синусоїдного струму є умова:

, або .

6.5 Запитання та завдання для самоперевірки

1. Що таке векторна діаграма?

2. Два комплексних опори сполучені послідовно. Миттєві значення напруг на цих опорах складають В, В. Знайти комплексну амплітуду і миттєве значення сумарної напруги.

Відповідь: В; В.

3. До вузла кола втікають струми та , миттєві значення яких задані: мА, мА. Визначити струм , який витікає з вузла, побудувати часову діаграму для цього струму і векторну діаграму струмів для даного вузла.

Відповідь: мА.

4. До кола, що складається з послідовно сполучених опору R = 1 кОм і ємності С = 1 нФ, прикладено напругу В. Знайти струм у колі, активну, реактивну і повну потужності.

Відповідь: мА; 0,025 Вт; 0,025 ВАр; 0,0353 ВА.

4. До кола, що складається з послідовно сполучених опору R = 8кОм та індуктивності L = 6 мГн, прикладено напругу В. Знайти струм у колі, активну, реактивну і повну потужності.

Відповідь: мА; 0,92 Вт; 0,4 ВАр; 1 ВА.

4. До кола, що складається з R = 20 Ом, L = 100 мГн і С = 50 мкФ, сполучених послідовно, прикладено напругу В. Обчислити комплексні струм і напругу на елементах R, L і С, побудувати векторну діаграму.

Відповідь: А; В; В; В.

4. Комплексний опір ділянки кола дорівнює Ом. Обчислити активну і реактивну провідності.

Відповідь: 0,082 См; 0,147 См.

4. Комплексна провідність ділянки кола дорівнює См. Обчислити активний і реактивний опори.

Відповідь: 2,5 Ом; 2,5 Ом.

4. На ділянці кола задані комплексні діючі значення напруги В і струму А. Знайти комплексний опір і комплексну провідність кола.

Відповідь: Ом; См.