Тема 6. Модели управления запасами

1. Основные понятия и определения

2. Основная модель управления запасами

3. Модель, учитывающая скидки

4. Модель планирования экономичного размера партии

5. Обзор существующих направлений в моделировании УЗ

1. Основные понятия и определения

Для обеспечения непрерывного и эффективного функционирования практически любой организации необходимо создание запасов, например, в производственном процессе, торговле, медицинском обслуживании и т.д. В зависимости от ситуации под запасами могут подразумеваться: готовая продукция, сырье, полуфабрикаты, станки, инструмент, транспортные средства, наличные деньги и др. Неверный расчет необходимых запасов может привести как к незначительному ущербу (потеря части дохода от дефицита товара), так и к катастрофическим последствиям (при ошибочной оценке запасов топлива на самолете).

К экономическому ущербу приводит как чрезмерное наличие запасов, так и их недостаточность. Так, если некоторая компания имеет товарные запасы, то капитал, овеществленный в этих товарах, замораживается. Этот капитал, который нельзя использовать, представляет для компании потерянную стоимость в форме невыплаченных процентов или неиспользуемых возможностей инвестирования. Кроме того, запасы, особенно скоропортящиеся продукты, требуют создания специальных условий для хранения. Для этого необходимо выделить определенные площади, нанять персонал, застраховать запасы. Все это влечет определенные издержки. С другой стороны чем меньше уровень запаса, тем больше вероятность возникновения дефицита, что может принести убытки вследствие потери клиентов, остановки производственного процесса и т.д. Кроме того, при малом уровне запасов приходится часто поставлять новые партии товара, что приводит к большим затратам на доставку заказов.

Отсюда следует важность разработки и использования математических моделей, позволяющих найти оптимальный уровень запасов, минимизирующий сумму всех описанных видов издержек.

Любая модель управления запасами (УЗ) в конечном счете должна давать ответ на два вопроса:

1. Какое количество продукции заказывать?

2. Когда заказывать?

Ответ на первый вопрос дается с помощью понятия размера заказа, т.е. количества ресурсов, которое необходимо поставлять для пополнения запасов.

Ответ на второй вопрос связан с понятием точки заказа, т.е. критический уровень запасов, при котором следует подавать заказ на поставку очередной партии ресурса.

Большое значение имеют различные виды затрат на УЗ. Затраты на приобретение ресурса являются важным фактором в тех случаях, когда действует система оптовых скидок, зависящих от размера заказа. Затраты на осуществление заказа включают в себя затраты на оформление заказа и затраты на доставку заказа. При частой подаче заказов на мелкие партии товара сумма этих затрат возрастает по сравнению со случаем более редкой подачи заказов на крупные партии. Если запас пополняется не готовым ресурсом со склада, а производится, то затраты на осуществление заказа идут на организацию производственного процесса по выпуску партии ресурса. В этом случае затраты на приобретение ресурса эквивалентны издержкам производства ресурса.

Затраты на хранение запаса представляют собой расходы на физическое содержание запаса на складе и возрастают с увеличением уровня запасов. Потери от дефицита представляют собой расходы, обусловленные отсутствием запаса необходимой продукции. Они могут быть вызваны более высокой платой за срочную доставку товара, ухудшением репутации у потребителя, потенциальной потерей прибыли.

Модель УЗ не обязательно должна включать все перечисленные виды затрат, т.к. некоторые из них могут быть незначительными или отсутствовать.

Страховой (резервный) запас - запас ресурсов, созданный для недопущения дефицита в непредвиденных ситуациях. Эффективность модели зависит от того, насколько точно будет предсказан спрос на ресурс, что является довольно сложной задачей. Выделяют следующие типы спроса

Детерминированный спрос точно известен заранее, в отличие от вероятностного спроса. При статическом типе спроса интенсивность потребления ресурса остается неизменной во времени, при динамическом типе спроса интенсивность потребления является изменяется в зависимости от времени. При стационарном типе спроса его функция плотности вероятности неизменна во времени, а при нестационарном - функция плотности вероятности спроса изменяется во времени.

Время пополнения запаса может мгновенным в случае внешней доставки заказа (доставка товара на торговую точку). В случае же когда ресурс производится самой организацией происходит равномерное пополнение запаса на определенный срок (производство микросхем на предприятии, на котором они в дальнейшем используются для сборки электронной аппаратуры).

Время доставки заказа может быть определено более или менее точно, в зависимости от дальности поставки, от наличия надежных поставщиков и т.д. Ряд факторов может приводить к запаздыванию поставок.

2. Основная модель управления запасами

Существует множество моделей УЗ той или иной степени сложности. Наиболее простой является так называемая основная модель управления запасами (модель Уилсона, система с фиксированным размером заказа). Эта модель несколько оторвана от действительности, но является полезной для понимания существа предмета, проблем, основных закономерностей и подходов в области УЗ.

При построении модели Уилсона используются следующие параметры.

1. Входные:

1. - интенсивность потребления запаса, [ед. товара / ед. времени];

2. s - затраты на хранение запаса, [ден. ед. / ед. товара * ед. времени];

3. K - затраты на осуществление заказа, [ден. ед.].

2. Выходные:

1. Q - размер заказа, [ед. тов.];

2. - период поставки, [ед. времени];

3. L - общие затраты на управление запасами в единицу времени, [ден. ед./ ед. времени].

Данная модель моделирует ситуацию УЗ, которая характеризуется следующими допущениями.

1. Интенсивность потребления является априорно известной и постоянной величиной, .

2. Время поставки заказа является известной и постоянной величиной.

3. Каждый заказ поставляется в виде одной партии.

4. Затраты на осуществление заказа К не зависят от размера заказа.

5. Отсутствие запаса является недопустимым.

Эта модель наиболее близка к следующим реальным ситуациям:

1. потребление основных продуктов питания, например, хлеба, молока, в санатории ( оно в течение смены остается постоянным);

2. использование осветительных ламп в здании;

3. использование канцелярских товаров (бумага, блокноты, карандаши) крупной фирмой;

4. использование в производственном процессе для сборки изделий покупных комплектующих, например, гаек и болтов.

Циклы изменения уровня запаса в модели Уилсона графически представлены на рис.6.1. Все циклы изменения запасов являются одинаковыми, максимальное количество продукции, которая находится в запасе, совпадает с размером заказа Q.

Рис.6.1 - Циклы изменения уровня запаса в модели Уилсона

Модель УЗ должна минимизировать издержки по УЗ за весь период их хранения. Длительность этого периода значения не имеет, пусть это будет некоторый плановый период (пл. пер.). Тогда общие затраты на УЗ в пл. пер. L составляют

L= затраты на осуществление заказов в течение пл. пер. ( )+

+ затраты на хранение запасов в течение пл. пер. ( ) (6.1).

Если потребность в ресурсах составляет , а каждый заказ подается на партию размером Q , то количество заказов в течение пл. пер. составит , а затраты

.

При расчете исходят из среднего количества продукции, составляющей запас в течение одного цикла. Поскольку в рассматриваемой ситуации уровень запаса изменяется линейно от Q до нуля, то средний уровень запасов равен , поэтому

.

Тогда из (6.1) следует, что

.

(6.2)

Чтобы найти оптимальный размер заказа , минимизирующий L, найдем частную производную и приравняем ее к нулю

;

;

.

(6.3)

После получения ответа на вопрос: сколько заказывать, ответим на вопрос когда подавать заказ. Из рис.6.1 следует, что если мы знаем время доставки , то мы можем узнать какой объем запаса будет израсходован за это время

,

(6.4)

где - интенсивность потребления в единицу времени, а - точка заказа. Это означает, что если при объеме запаса мы подадим заказ, то к моменту обнуления запаса (через ед. времени) заказ будет доставлен. Период поставки и интервал между подачей заказов равен

.

(6.5)

3. Модель, учитывающая скидки

Если цена закупки постоянна и не зависит от Q, то она не учитывается в модели, поскольку ее включение в уравнение общих затрат приводит к перемещению графика этого уравнения параллельно оси Q и не изменяет его формы. Но если на заказы большого объема предоставляются скидки, то затраты на приобретение товара необходимо учитывать в модели. В данной ситуации заказы на более крупные партии повлекут за собой увеличение затрат на хранение, но это увеличение может быть компенсировано снижением закупной цены. Уравнение общих затрат для рассматриваемой ситуации получаем из (6.2) путем добавления затрат на покупку товара , где С - цена товара:

.

(6.6)

Чтобы определить оптимальный размер заказа в этой ситуации надо проанализировать в какую из трех областей попадает точка разрыва цены. Для этого применяется следующее правило:

(6.7)

Пример 6.1. Затраты на заказ равны 10 рублей, затраты на хранение продукции 1 рубль в сутки, интенсивность потребления товара 5 шт. в день, цена товара 2 рубля за штуку, а при объеме закупки 15 шт. и более - 1 рубль. Определить оптимальный размер заказа.

Решение:

руб., шт. в день, за шт. в сутки, руб. за шт., шт., руб. за шт.

шт.,

т.е. условие шага 2 алгоритма не выполняется . Найдем размер заказа , уравнивающий общие затраты при различном уровне цен

,

,

,

,

шт. или шт.

Согласно шагу 2 выбираем большее значение шт., которое находится в области 2. Таким образом выполняется условие шага 3 алгоритма, т.е. ( ), поэтому шт. Общие затраты в единицу времени составляют

,

тогда как если бы заказывали по 10 шт. товара, то общие затраты составили бы 20 рублей, т.е. при заказе в 15 шт. экономия средств составляет 4,17 рублей в сутки.

4. Модель планирования экономичного размера партии

Основную модель, используемую для моделирования процессов закупки продукции у внешнего поставщика, можно модифицировать и применять в других ситуациях. Рассмотрим некоторый производственный процесс, когда на первом станке производится партия деталей с интенсивностью деталей в ед. времени, которые используются на втором станке с интенсивностью [дет./ед. врем.] (рис.6.2).

Рис.6.2 – Схема производственного процесса

Изменение уровня запасов происходит следующим образом (рис. 6.3).

Рис.6.3 – График изменения уровня запасов

В данном случае модель должна определять оптимальный размер партии деталей для первого станка. Уравнение общих затрат имеет вид

L = K * число партий продукции в пл. пер. + s * средний уровень запаса, (6.8)

где число партий равно как и в предыдущей модели . Средний уровень запасов, как и в предыдущей модели, равен половине его максимального уровня, который в данном случае отличен от размера партии Q. Из рис. 6.3 видно, что максимальный уровень достигается за время [ед. врем.], возрастая с интенсивностью [дет. /ед. врем.], т.е.

, ,

откуда средний запас равен

.

Тогда (6.8) принимает вид

.

(6.9)

Приведем формулу оптимального размера партии деталей:

;

.

5. Обзор существующих направлений в моделировании УЗ

Рассмотренные выше модели основывались на ряде предположений. В реальных ситуациях они часто нарушаются, что приводит к усложнению моделей УЗ. Перечислим основные разновидности таких моделей.

1. Большинство систем УЗ, используемых на практике, включает в себя сотни и даже тысячи наименований продукции. Типичными примерами являются крупный универмаг или завод-изготовитель. В таких случаях целесообразно ограничится исследованием тех видов товаров, которые обладают высокой годовой стоимостью продаж. Для моделирования процессов управления запасами не одного, а нескольких видов товара, разработаны так называемые многопродуктовые модели УЗ.

2. Проблемы, связанные с наличием нескольких видов продукции, могут осложняться при ограничении на складские мощности. Так, наличие прилавков или свободной площади является ограничивающим фактором, строго определенным с точки зрения планировки каждого конкретного магазина, что оказывает влияние на создаваемую модель УЗ.

На практике спрос и время поставки чаще всего являются не детерминированными, а вероятностными величинами. Для формализации фактора неопределенности в соответствующих моделях делают предположения о законе распределения конкретных параметров (чаще всего это нормальное распределение или распределение Пуассона). В этом случае принимаемые решения по УЗ гарантируют конкретные результаты (например, недопущение дефицита) с определенной вероятностью.

3. Особо сложными являются случаи, когда система УЗ включает сразу много объектов, например, несколько магазинов и центральный универмаг. Администрации приходится принимать решения о том какие товары хранить и продавать в центральном универмаге, а какие в мелких магазинах, принимать решения по объемам и частоте заказов каждого вида товара. Наиболее перспективными в таких случаях являются не аналитические, а имитационные модели, которые с помощью ЭВМ "проигрывают" возможные варианты развития событий.

4. Важным моментом построения и использования моделей УЗ является выбор критерия эффективности. Мы рассматривали модели, минимизирующие общие затраты на УЗ. Между тем различные торговые предприятия чаще всего организуют работу своих магазинов таким образом, чтобы получать максимум прибыли, что может приводить к иным решениям.

Перечисленные ситуации на практике часто комбинируются, что оказывает влияние на вид соответствующей модели УЗ.