Тема 3. Теория принятия оптимальных решений
Цель практического занятия: Получить навыки обоснования оптимальных решений в условиях полной определенности, неопределенности и риска
Методические указания к практическому занятию
Пример 1. Фирме требуется выбрать оптимальную стратегию по обеспечению нового производства оборудованием. Определены значения частных критериев функционирования оборудования, выпускаемого тремя заводами (табл. 3.1).
Таблица 3.1
Значения частных критериев функционирования оборудования
Варианты оборудования (стратегии) |
Производительность, ден. ед. |
Стоимость оборудования, ден. ед. |
Энергоемкость, ден. ед. |
Надежность, ден. ед. |
Завода I Завода II Завода III
|
5 3 4 0,4 |
7 4 6 0,2 |
5 7 2 0,1 |
6 3 4 0,3 |
На основе опроса экспертов определены веса частных критериев .
Решение:
Применим аддитивный критерий оптимальности (обобщенную функцию цели), который определяется по формуле:
(3.1)
, ( 3.2)
где
aij – значение частного (локального) критерия;
- вес (важность) j –го частного критерия.
Рассчитаем взвешенные значения критериев оптимальности:
F1 = 5 · 0,4 + 7 · 0,2 + 5 · 0,1 + 6 · 0,3 = 5,7
F2 = 3 · 0,4 + 4 · 0,2 + 7 · 0,1 + 3 · 0,3 = 3,6
F3 = 4· 0,4 + 6 · 0,2 + 2 · 0,1 + 4 · 0,3 = 4,2
Следует выбрать стратегию F1 , т.е. приобрести оборудование у завода I, так как значение F1 – max.
Пример 2. Предположим, что в условии примера 1. производительность оборудования измеряется в шт./час, стоимость в денежных единицах, а надежность и энергоемкость в условных единицах. Определить в данном случае оптимальную стратегию.
Решение:
Нам необходимо максимизировать критерии производительности и надежности, а минимизировать критерии стоимости и энергоемкости.
Проведем процедуру нормализации. Для этого:
Определим максимум каждого локального метода.
max aij (3.3)
В соответствии с критерием max эффективности пересчитаем значения частных критериев:
âij = (3.4)
âij = 1- (3.5)
Формула (3.4) используется для критериев, которые необходимо максимизировать, а формула (3.5) - для критериев, которые минимизируют.
1. Выберем максимальные значения по каждому столбцу
а+1 = 5 ; а+2 = 7 ; а+3 = 7 ; а+4 = 6
2. Для критериев «Производительность» и «Надежность» будем использовать формулу (4.4):
â11
=
â14=
â21
=
â14=
â31
=
â34
=
3. Расчет критериев «Стоимость оборудования» и «Энергоемкость» произведем в соответствии с формулой (3.5):
â
1.2=
â1..3
=
â2.2
=
â2..3
= 0
â3.3
=
â3..3
=
4. Рассчитаем значения аддитивного критерия оптимальности по формуле (3.1):
F1
=1∙0,4
+0,02 +
∙
0,1 +1∙0,3=0,729
F2
= 0,6∙0,4
+
∙
0,2+0,01+0,5 ∙
0,3 =
0,476
F3
= 0,8∙0,4
+
∙
0,2+
∙
0, 1+
∙
0,3 =
0,62
Необходимо выбрать стратегию F1, так как она соответствует наибольшему значению аддитивного критерия оптимальности. Фирме следует приобрести оборудование у первого завода-изготовителя.
Пример 3. Транспортное предприятие должно определить уровень своих провозных возможностей, так чтобы удовлетворить спрос на транспортные услуги. Спрос точно не известен, но прогнозируется, что он может принимать одно из четырех значений.
Для каждого уровня спроса существует наилучший уровень провозных возможностей, отклонение от которых проводят к дополнительным затратам. Определить оптимальный вариант провозных возможностей по данным таблицы 3.2.
Таблица 3.2
Затраты по вариантам спроса на транспортные услуги, млн. р.
Варианты провозных возможностей |
Варианты спроса |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 2 3 4 |
6 9 23 27 |
17 7 18 24 |
20 9 15 21 |
24 18 19 15 |
Решение:
Применим критерий Лапласа. Необходимо учесть, что по условию задачи элементами исходной матрицы являются затраты, то есть потери:
-
S1 S2 S3 S4
R1 R2
R3
R4
6
12
20
24
9
7
9
28
23
18
15
19
27
24
21
15
qi
=
= 0,25
W1 = 0,25 (6+12+20+24)=15,6
W2 = 0,25 (9+7+9+28)=13,25
W3 = 0,25 (23+18+15+19) =18,75
W4 = 0,25 (27+24+21+15)=21,75
Так как дана матрица потерь, то выбираем стратегию с наименьшим значением затрат 13,25 млн. руб. Следовательно, наилучшей стратегией развития провозных возможностей является вторая.
Пример 4. Используя условие примера 3.3 необходимо выбрать оптимальную стратегию с помощью критерия Вальда. В данном случае будет использоваться минимаксный критерий:
max (6; 12; 20; 24 ) =24
max (9; 7; 9; 28) =28
max (23; 18; 15; 19 ) =23
max (27; 24; 21; 15) =27
W = min (24; 28; 23; 27) =23
Таким образом, в соответствии с критерием Вальда наилучшей стратегий будет третья.
Пример 5. Для исходных данных примера 3.3 применим критерий Севиджа.
Рассчитаем матрицу рисков:
-
S1 S2 S3 S4
R1 R2
R3
R4
0
5
11
9
3
0
0
13
17
11
6
4
21
17
12
0
В соответствии с критерием Севиджа к матрице рисков всегда применяют минимальный критерий (табл. 3.3).
Таблица 3.3
Выбор стратегии по минимаксному критерию
-
Rj
max (rij )
min max (rij )
1
11
11
2
13
-
3
17
-
4
21
-
Данный критерий указывает на выбор первой с, что позволит избежать большого риска.
Пример 6. Применим к условию задачи критерий Гурвица при ɣ =0,5.
Таблица 3.4
Выбор оптимальной стратегии по критерию Гурвица
Wi |
|
|
|
|
W1 W2 W3 W4 |
6 7 15 15 |
24 28 23 27 |
15 17,5 19 21 |
15 - - - |
В соответствии с данным критерием выбираем в качестве оптимальной первую стратегию.