Методичні рекомендації до семінару:

Готуючи відповідь на перше питання семінару, студенти мають софрулювати визначення судження як форми мислення. Судження – це форма мислення, в якій засобами мови розкриваються зв’язки предметів із їхніми ознаками (для атрибутивних суджень) або відношення між предметами (для релятивних суджень). Подібно до понять судження не можна плутати із мовними виразами, у яких їх висловлюють. Одне і те ж саме судження можна виразити різними реченнями. Судження мають два види значень: змістовне і смислове. Змістом судження (у логіці зміст часто називають матерією) є його істиннісне значення. У двозначній логіці висловлювань визнається існування лише таких істиннісних значень як «істина» і «хиба». Істинним називається таке судження, яке адекватно (вірно) позначає відповідну йому ситуацію у навколишній (позамовній) дійсності. Зрозуміло, якщо судження неадекватно (невірно) позначає відповідну йому ситуацію у навколишній (позамовній) дійсності, викривлює її, то таке судження ми оцінимо як хибне. Окрім матеріального, судження мають смислове значення, тобто несуть певну інформацію про стан справ у навколишній (позамовній) дійсності.

У другому питанні слід вказати на те, що структура суджень є абстрактною системою взаємозв’язків між предметами й їхніми властивостями, або взаємозв’язків між предметами. За характером предиката прості судження поділяються на атрибутивні атрибутивні (окремим їх підвидом є екзистенційні) і релятивні й релятивні. Атрибутивні судження (від лат. аttributит — властивість, ознака) розкривають наявність або відсутність у предметів думки тих або інших властивостей (ознак). В екзистенційних (від лат. ехistentia — існування) судженнях йдеться про наявність або відсутність в реальній дійсності самого предмета думки. У традиційній логіці будову елементарних атрибутивних суджень представляють у таких структурах:

1. S є Р;

2. S не є Р,

де S позначає суб’єкт судження – предмет, про який у ньому йде мова; Р в атрибутивних судженнях позначає предикат — саму по собі властивість, що приписується предмету; слова «є» або «не є» виступають у ролі зв’язок між суб’єктом і предикатом. Замість слова «є» можуть використовуватися слова «має», «належить» і т. ін. Прості атрибутивні судження містять у своїй структурі лише один суб’єкт й один предикат. Судження розрізняють на види за якістю і кількістю суб’єктів. Під якістю суб’єктів судження розуміють не їхнє змістовне або смислове значення, а лише їхню логічну форму. За якістю суб’єктів судження поділяють на стверджувальні та заперечні. Судження, які містять зв’язку «є» є стверджувальними, а судження, які містять зв’язку «не є», є заперечними. За кількістю (логічним обсягом суб’єкта судження) судження поділяються на одиничні, загальні й часткові. Одиничними називають судження, в яких щось стверджується або заперечується лише про один окремий предмет того чи іншого класу. Загальними називають судження, в яких щось стверджується або заперечується стосовно цілого класу (множини) предметів. У таких судженнях використовують слова: «всі», «кожний», «будь-який» тощо. Частковими називають судження, в яких щось стверджується або заперечується стосовно частини класу (множини) предметів. Іншим різновидом простих суджень є релятивні судження (від лат. rеlаtіо — повідомлення, оповіщення), які розкривають наявність або відсутність у певного предмета того чи іншого відношення до іншого предмета (або кількох предметів). Їхні основні формули: «х R у» (для стверджувальних) та «х не R у» (для заперечних), де «х» та «у» є позначеннями суб’єктів (позначають предмети про які в цих судженнях йде мова), а символ R (від rеlаtіо) позначає предикат, тобто у випадку із релятивними судженнями предикатом є відношення між суб’єктами. Відношень між предметами існує необмежена кількість: «більше», «менше», «важче», «легше», «гарніше», «батьківство», «синівство» та ін.

У третьому питанні слід зазначити, що за кількістю і якістю суб’єкта судження поділяють на: одинично-стверджувальні – «S є Р»; одинично-заперечні – «S не є Р»; загально-стверджувальні — «Всі S є Р», в логіці такі судження позначаються літерою «А» (від першої голосної літери латинського слова affirmo – стверджую); загально-заперечні — «Всі S не є Р», в логіці такі судження позначаються літерою «Е» (від першої голосної літери латинського слова nego – заперечую); частково-стверджувальні — «Деякі S є Р», в логіці такі судження позначаються літерою «І» (від другої голосної літери слова affirmo); частково-заперечні — «Деякі S не є Р», в логіці такі судження позначаються літерою «О» (від другої голосної літери латинського слова affirmo).

У четвертому питанні варто зазначити, що між судженнями мають місце логічні відношення, насамперед, за їхніми істиннісними значеннями. Це стосується як простих, так і складних суджень. Відношення між простими судженнями визначаються, з одного боку, їх логічною формою: характером суб’єкта, предиката і логічних операторів, а з другого — їх смислом. За своїм змістом атрибутивні судження можуть перебувати у відношеннях порівнюваності і непорівнюваності. Непорівнювані судження мають або різні суб’єкти, або різні предикати, або одночасно різні суб’єкти і різні предикати. У непорівнюваних судженнях істинність або хибність одного судження не залежить від істинності або хибності іншого. Тому їхній подальший логічний аналіз не здійснюється. Порівнювані судження мають однакові суб’єкти і предикати, але можуть відрізнятися одне від одного за кількістю і якістю. Їх можна зіставляти між собою за матеріальним (істиннісним) значенням. За своєю логічною формою порівнювані судження поділяються на сумісні і несумісні. Сумісні судження містять одну й ту саму думку (повністю або частково). Між ними виникають такі логічні відношення: еквівалентності, підпорядкування, часткового збігу (перетину). Еквівалентні (рівнозначні) судження можуть бути лише або разом істинними, або разом хибними. В еквівалентних судженнях суб’єкти і предикати є тотожними за смислом поняттями. Несумісні судження містять різні якості (одне судження стверджувальне, інше — заперечне). Між несумісними судженнями можуть існувати логічні відношення: контрарності (протилежності), субконтрарності (перетину) і контрадикторності (суперечності). Відношення підпорядкування, часткового збігу, контрарності (протилежності) і контрадикторності (суперечності) спостерігаються між судженнями видів А, Е, І, О. Їх часто відображують у вигляді логічного квадрата. Логічний квадрат – це штучна схема, яку запропонували ще середньовічні схоласти. Між судженнями видів А - І, Е - О існують відношення підкорення (підпорядкування). У цих суджень якість термінів однакова, а кількість - різна. Тут існує лише одна закономірність. З істинності підпорядковуючого судження (А для І) та (Е для О) випливає істинність підпорядкованого йому судження (І для А) та (О для Е). Між судженнями видів І — О існує відношення субконтрарності (часткової сумісності). Це означає, що вони не можуть бути одночасно хибними, але можуть бути одночасно істинними. Тобто із хибності одного із них випливає істинність іншого, але не навпаки. Між судженнями видів А - Е існує відношення контрарності (протилежності). Це означає, що вони не можуть бути одночасно істинними, але можуть бути одночасно хибними. Між судженнями видів А - О, Е - І (діагоналі квадрата) наявні відношення контрадикторності (суперечності). Це означає, що вони не можуть бути одночасно істинними і не можуть бути одночасно хибними. Реляційні судження (їх структура: х R у) мають багато спільного з атрибутивними (побудовані з трьох частин, мають кількість і якість (всі х R у (виду А); деякі х R у (виду І); всі х не R у (виду Е); деякі х не R у (виду О). Тому між релятивними судженнями також мають місце певні відносини: підкорення. Але, на відміну від атрибутивних, реляційні судження мають не одномісний предикат, а n-місний (2-місний і більше). Тому у залежності від характеру відношення R між предметами х, у всередині судження встановлюються свої специфічні відносини: симетричності і несиметричності, транзитивності і нетранзитивності, рефлективності і нерефлексивності. Симетричними (від гр. symmetria – співмірність) називають відносини між х, у, коли не має значення, який із даних двох членів попередній, а який наступний. Зміна порядку їх розташування не може впливати на смислове і матеріальне (істиннісне) значення таких суджень. Симетрія має місце у судженнях про рівність, подібність і т. ін. Несиметричними називають відносини між х, у, коли важливий порядок їх розташування, зміна порядку може вплинути на смислове або матеріальне значення таких суджень. Транзитивні (перехідні) (від лат. transitus – перехід) відносини мають місце між двома (або більше) судженнями тоді, коли, із одного відношення ми можемо перейти до іншого. Наприклад, якщо х еквівалентне у, а у (у свою чергу) еквівалентне z, то це значить, що х еквівалентне z. Транзитивні судження можуть бути або одночасно істинними, або одночасно хибними. Наприклад, якщо х раніше у, а у раніше z, то х раніше z (якщо понеділок раніше вівторка, а вівторок раніше середи, то понеділок раніше середи). У нетранзитивних (неперехідних) судженнях ми не можемо із одного істинного реляційного судження перейти до іншого істинного реляційного судження. Нетранзитивні судження не можуть бути одночасно істинними. Рефлексивні (від лат. reflexio – відображення) відносини характеризуються тим, що кожний із членів відношення R (між х і у) знаходиться у такому ж відношенні до самого себе. Рефлексивними є відношення одночасності, рівності і т. п. Рефлексивні судження можуть бути лише або одночасно істинними, або одночасно хибними. Нерефлексивні відносини характеризуються тим, що кожний із членів відношення R (між х і у) не знаходиться у такому ж відношенні до самого себе. Нерефлексивні судження не можуть бути одночасно істинними, або одночасно хибними. Складні судження також можуть знаходитись між собою у певних відносинах. Але, для цього, прості судження, з яких вони складаються, повинні містити спільні складові частини (суб’єкти і предикати). Складні судження бувають порівняльні або непорівняльні. У непорівняльних судженнях, у простих судженнях, з яких вони складаються, відмінні всі предикати і суб’єкти, тому такі судження неможливо співставити за смислом і аналізувати їх співвідношення за істинністю і хибністю. У порівняльних судженнях, у простих судженнях, з яких вони складаються, можуть бути спільні суб’єкти але відмінні предикати, можуть бути спільні предикати але відмінні суб’єкти, і можуть бути спільні і предикати, і суб’єкти. Порівняльні судження бувають сумісні і несумісні, між ними можуть мати місце ті ж самі типи відносин, що й між простими атрибутивними. Сумісні судження бувають еквівалентними, частковосумісними і підкореними. Несумісні судження бувають протилежними (контрарними) і суперечливими (контрадикторними). Еквівалентні судження бувають лише або одночасно істинними, або одночасно хибними. За допомогою еквіваленції часто висловлюють закони логіки, перетворюють одні судження на інші. Підкорювальні судження характеризуються тим, що за умови істинності підкорюючого судження, підкорене завжди буде істинним, але не навпаки. Частковосумісні судження не можуть бути одночасно хибними. Протилежні (контрарні) судження не можуть бути одночасно істинними. Суперечливі (контрадикторні) судження не можуть бути одночасно істинними і не можуть бути одночасно хибними. Наприклад, судження: P (люди є живими і мислячими істотами) і Q (невірно, що люди є живими і мислячими істотами) є між собою суперечливими.

В п’ятому питанні слід розглянути основні логічні операції над судженнями. розглянемо трансформацію простих і складних суджень. Трансформація суджень потрібна тоді, коли необхідно вияснити їх точний логічний смисл. Дана ціль досягається за посередництвом таких логічних операцій як обернення, перетворення, протиставлення суб’єкту і протиставлення предикату. Ці операції проводяться над простими атрибутивними судженнями. Обернення (конверсія) - це логічна операція над судженнями, що полягає у перестановці місцями суб’єкта і предиката. У результаті такої операції можуть мати місце наступні наслідки: загальностверджувальні судження можуть обернутися або на частковосверджувальні, або ж загальностверджувальні судження можуть обернутися також на загальностверджувальні судження. У першому випадку (це т. зв. обернення з обмеженням) у судженні суб’єкт розподілений, а предикат – нерозподілений. У другому випадку (це т. зв. чисте обернення) у судженні суб’єкт і предикат разом розподілені. За допомогою обернення можна перевірити правильність операції визначення понять. Всі правильні визначення понять, оскільки в них обсяг того поняття яке визначається дорівнює обсягу поняття, за допомогою якого розкривається зміст визначального поняття, повинні передбачати чисте обернення. Часковостверджувальні судження можуть обернутися або на частковосверджувальні, якщо суб’єкт і предикат в них разом не розподілені. Або ж частковосверджувальні обертаються на загальностверджувальні судження, якщо суб’єкт не розподілений, а предикат розподілений. Загальнозаперечні судження обертаються на загальнозаперечні, оскільки в них розподілені і суб’єкт, і предикат. Частковозаперечні судження не обертаються, оскільки в них суб’єкт не розподілений і, відповідно, він не може стати предикатом нового заперечного судження, в якому предикат повинен бути розподіленим. Перетворення (обверсія) – це логічна операція над судженнями, яка полягає у зміні його якості на протилежну. Її можливість ґрунтується на тій обставині, що подвійне заперечення дає ствердження. За допомогою даної операції над судженнями можна отримати наступні результати: А (загальностверджувальні судження) перетворюються на Е (загальнозаперечні судження). Формула: «всі S – Р» = «жоден S не є не Р». Навпаки, Е (загальнозаперечні судження) перетворюються на А (загальностверджувальні судження). Формула: «жоден S не є не Р» = «всі S – Р». І (частковостверджувальні судження) перетворюються на О (частковозаперечні судження). Формула: «деякі S є Р» = «деякі S – не є не Р». Навпаки, О (частковозаперечні судження) перетворюються на І (частковостверджувальні судження). Формула: «деякі S не є Р» = «деякі S є не Р». Протиставленням суб’єкту називають трансформацію суджень, коли над судженням спочатку роблять операцію обернення, а потім операцію перетворення. Протиставленням предикату називають трансформацію суджень, коли над судженням спочатку роблять операцію перетворення, а потім операцію обернення. Значення даних операцій над судженнями полягає, насамперед, у тому, що за їх допомогою, ми можемо робити безпосередні висновки лише із одного засновку. Вони також дозволяють отримати додаткову інформацію, закладену у судженні, яке трансформують. Трансформації простих реляційних суджень. Дані судження як і прості атрибутивні підлягають таким основним логічним операціям як обернення і перетворення. Трансформація реляційних суджень потрібна тоді, коли необхідно вияснити їх точний логічний смисл, природу того відношення, на якому вони ґрунтуються, тобто необхідно знати, чи є воно симетричним або несиметричним, транзитивним або нетранзитивним, рефлективним або нерефлексивним. Обернення. Якщо відношення (R) є симетричним, то обернення зведеться до простої перестановки місцями членів відношення (х і у). Саме ж відношення (R) полишається тим самим. Прикладом може слугувати всім відоме правило арифметики: «від перестановки місцями складників сума не змінюється» (5+7=7+5). Але, якщо відношення (R) не є симетричним, то обернення передбачає не лише перестановку місцями членів відношення (х і у), але й заміну самого відношення (R) іншим (як правило, протилежним). Важливо, щоб смисл судження полишався тим самим, а змінювалась би лише його логічна форма. Якщо відношення (R) є транзитивним, то обернення судження передбачає заміну даного відношення на протилежне йому. Але якщо відношення (R) не є транзитивним, то обернення судження передбачає не просто заміну даного відношення на протилежне йому, а пошук якогось нового відповідного відношення. Перетворення також має специфіку, якщо його застосовувати до реляційних суджень. У випадку із симетричними судженнями, у результаті їх перетворення, ми отримаємо судження із подвійним запереченням висхідного. А подвійне заперечення у логіці дорівнює ствердженню. Саме відношення (R) полишиться незмінним. Але, якщо відношення (R) не є симетричним, то перетворення судження передбачає не лише його подвійне заперечення (що дорівнює простому ствердженню), але й заміну самого відношення (R) іншим (як правило, протилежним). Над релятивними судженнями можна проводити і інші типи логічних операцій (протиставлення суб’єкту і протиставлення предикату, тощо), але, оскільки вони зводяться до розглянутих вище (у тому смислі, що є лише їх комбінаціями), ми їх аналізувати не будемо. Складні судження також можна трансформувати. Через рівнозначність (еквівалентність) ми можемо із одних складних суджень отримувати інші. Розглянемо основні типи таких перетворень: кон’юнкцію можна перетворити на звичайну (не строгу) диз’юнкцію, оскільки заперечення кон’юнкції еквівалентне диз’юнкції заперечень, формула: (АВ)(АВ); диз’юнкцію можна перетворити на кон’юнкцію, оскільки заперечення диз’юнкції еквівалентне кон’юнкції заперечень, формула: (АВ)(АВ); імплікацію можна перетворити на кон’юнкцію, оскільки імплікація еквівалентна запереченню кон’юнкції антицедента (засновку імплікації) і заперечення консеквента (наслідку імплікації), формула: (АВ)(АВ); імплікацію можна перетворити на диз’юнкцію, оскільки імплікація еквівалентна диз’юнкції заперечення антицедента (засновку імплікації) і консеквента (наслідку імплікації), формула: (АВ)(АВ). Можливі і інші перетворення складних суджень (наприклад, кон’юнкцію і диз’юнкцію можна перетворити на імплікацію). Завдяки перетворенню одних складних суджень на інші (еквівалентні їм), ми можемо будувати безпосередні умовиводи, також можна спрощувати складні судження, використовуючи одні логічні сполучники замість інших. Цю можливість широко використовують у сучасній математичній логіці (насамперед, у логіці висловлювань). Еквівалентність суджень встановлюється (і перевіряється) за допомогою таблиць істинності.

В шостому питанні слід зазначити, що складні судження містять у своєму складі кілька (два або більше) простих суджень. Вони утворюються з простих за допомогою логічних сполучників. Існують такі основні види логічних сполучників: заперечення, кон’юнкція, диз’юнкція, імплікація, еквіваленція. Слід мати на увазі, що логічні сполучники пов’язують судження не за їх смисловим, а за їх змістовним (істиннісним, матеріальним) значенням. Сполучник «заперечення» (позначається символами: «», «~» та ін.) змінює змістовне (істиннісне) значення судження на протилежне, тобто в двозначній логіці перетворює істинне судження на хибне, а хибне — на істинне. В українській мові аналогом оператора заперечення є словосполучення «невірно, що…». Кон’юнктивні судження (від лат. соnjunctіо — зв’язок, поєднання) будуть істинними лише у тому разі, коли всі їхні складові частини (кон’юнкти), яких може бути два, три і більше, будуть представлені лише істинними судженнями. Окремі кон’юнкти можуть бути представлені як простими, так і складними судженнями. Сполучник кон’юнкції в логіці позначається символом «», його аналогами в українській мові є кома («,») або сполучники «і», «та», «також» та ін. Диз’юнктивні (розділові) судження (від лат. disjunctіо — відокремлення, роз’єднання) бувають двох видів: прості (звичайні) і строгі (сильні). До складу диз’юнкції можуть входити два, три і більше диз’юнків (простих чи складних суджень). Проста диз’юнкція використовується для позначення альтернатив, які не виключають одна одну (кожна з них може бути одночасно істинною з іншими). Відповідно, проста диз’юнкція буде хибною лише у тому разі, коли всі диз’юнкти будуть хибними, якщо ж хоча б один диз’юнкт буде істинним, то у цілому звичайна диз’юнкція буде істинною. Строга диз’юнкція використовується в тих ситуаціях, коли альтернативи є такими, що виключають одна одну (вони не можуть бути одночасно істинними). Строга диз’юнкція, на відміну від простої, буде оцінена як хибна й у тому разі, коли два або більше диз’юнктів, з яких вона складається, будуть оцінені як істинні. Аналогом сполучника диз’юнкції в українській мові є сполучник «або». Для позначення сполучника простої диз’юнкції використовують символ «». Для позначення сполучника строгої диз’юнкції використовують символ: «». Імплікація (від лат. ітрlісаtіо — переплетення, тісний зв’язок) є умовним судженням, що складається з двох частин. Перша частина імплікації є умовою (антецедентом), а друга — наслідком (консеквентом). Сполучник імплікації позначається символами «», «». В українській мові аналогами сполучника імплікації є парні сполучники «якщо..., то...», «коли..., тоді...» тощо. У цілому імплікація буде хибною лише у тому разі, коли її умова буде представлена істинним судженням, а наслідок — хибним. Подібно до імплікації, еквіваленція теж є умовним судженням, що складається з двох частин. Перша частина еквіваленції теж є умовою (основою, антецедентом), а друга — наслідком (консеквентом). Еквівалентні судження (від лат. аеqиіvаlеns — рівноцінний, рівнозначний) будуть істинними тоді, коли збігатимуться істиннісні значення тих суджень, із яких вони складаються, тобто у тих випадках, коли антецедент і консеквент будуть або разом істинні, або разом хибні. Як і в попередньому випадку з імплікацією, еквіваленція пов’язує між собою не смислове, а лише матеріальне (істиннісне) значення суджень. Сполучник еквіваленції позначається символами: «», «». Його аналогами в українській мові є сполучники: «якщо і тільки якщо..., то...», «тоді і тільки тоді, коли...» та ін. Визначення логічних сполучників часто подають у вигляді таблиці істинності. Ці визначення використовують для перевірки істиннісних значень складних суджень.