1. Умножение дополнительного кода множимого на модуль множителя

Умножение множимого X на положительный множитель Y равносильно –кратному сложению множимого с нулем, а умножение на отрицательный множитель равносильно –кратному вычитанию множимого из нуля. –кратное сложение и –кратное вычитание множимого можно заменить соответственно сложением/вычитанием сдвинутых на требуемое количество разрядов частных произведений множимого на разряды множителя.

Поскольку множимое представлено в дополнительном коде, то для получения произведения в этом же коде, операции сложения/вычитания следует выполнять в дополнительном коде. Такой вариант вычисления произведения исключает преобразования множимого и произведения из одного кода в другой.

Дополнительный код положительного множителя совпадает с . Поэтому умножение на положительный множитель не требует вычисления . Если множитель отрицательный, то для вычисления необходимо выполнить преобразование дополнительного кода Y в прямой код.

Если код 1|00…0_доп применяется для кодирования числа , разрядность кода возрастет на один разряд, что усложняет вычисление произведения. Поэтому обычно операнды проверяют на 0, на 1|00…0_доп и вычисляют произведение на 0, результат умножения на 1|00…0_доп, знак произведения и дополнительный старший значащий разряд по отдельным правилам (раздел 4.4.2).

Вычисление можно совместить с формированием матрицы частных произведений, если воспользоваться способом непосредственного преобразования дополнительного кода в прямой (раздел 3.2.1.3).

Рассмотрим правила вычисления дополнительного кода произведения на примерах.

Пример 4-32. Перемножаются двоичные дополнительные коды операндов с количеством значащих разрядов .

A B C D E

X: 1|000 _д (-8) 1|101 _д (-3) 1|010 _д (-6) 0|111 _д (+7) 1|010 _д (-6)

Y: 0|101 _д (+5) 0|011 _д (+3) 1|101 _д (-3) 1|000 _д (-8) 1|101 _д (-3)

+11111000 +11111101 –11111010 –00000000 –111010

+0000000 +1111101 –1111010 –0000000 –11010

+111000 +00000 –000000 –000000 –0000

11001000_д (-56) 11110111_д (-9) –00000 –00111 00010010_д (+18)

00010010_д (+18) 11001000_д (-56)

F G H I J

X: 1|101 _д (-3) 1|001 _д (-7) 1|010 _д (-6) 0|111 _д (+7) 0|110 _д (+6)

Y: 0|101 _д (+3) 0|111 _д (+7) 1|100 _д (-4) 0|111 _д (+7) 1|011 _д (-5)

+111101 +111001 –000000 +000111 –000110

+11101 +11001 –00000 +00111 –00000

+0000 +1001 –1010 +0111 –0110

11110111_д (-9) 1001111_д (-49) 0011000_д (+24) 0110001_д (+49) 1100010_д (-30)

В вариантах A-D код 1|000_доп применяется для кодирования числа . Разрядность произведения, включая знак, Предварительная проверка операндов на 0 и на 1|000 не выполняется. Все разряды дополнительного кода произведения, включая разряд знака, вычисляются в процессе умножения множимого на .

В варианте A, так как , то имеет значащих разряда ( ) и частные произведения множимого на разряды складываются с нулем. Произведение . Поскольку при сложении частных произведений в дополнительном коде их форматы должны быть равными , отрицательные частные произведения расширены влево цифрами обратными нулю, а положительные – нулями. Цифры, расширяющие частные произведения влево, показаны во всех вариантах примера жирным шрифтом.

Частные произведения расширены вправо нулями, заданными по умолчанию, как это делают при умножении в прямом коде.

Вариант B отличается от варианта A только значениями операндов.

В варианте C множитель . Поэтому имеет разряда, и произведение вычисляется вычитанием из нуля частных произведений множимого на разряды . Для вычисления следует изменить знак . Это можно сделать, например непосредственным преобразованием дополнительного кода в прямой (раздел 3.2.1.3). Цифра , включая код знака, заменяется на обратную, если справа есть хотя бы одна цифра не равная 0. Разумеется, что справа от младшего разряда всегда нули.

В варианте D вычисления выполняются аналогично тому, как в варианте C. Только при значении ( ) последняя строка матрицы не равна 0, а все остальные равны 0.

В вариантах E и F по отдельным правилам вычисляются разряд знака и дополнительный значащий разряд произведения, показанные жирным шрифтом. Произведение операндов с кодами 0|000_доп или 1|000_доп так же вычисляется по отдельным правилам. Поэтому при выполнении умножения имеет разряда. Это позволяет сократить два левых столбца и четвертую нижнюю строку в матрице частных произведений (сравните варианты E и C).

В варианте F операция выполняется по тем же правилам, что и в варианте B. Из сопоставления вариантов F и B следует, что матрица сокращается на два столбца слева.

В вариантах G-J код 1|000 для кодирования числа не применяется. Разрядность дополнительного кода произведения . Дополнительный старший значащий разряд отсутствует. Знаковый разряд результата вычисляется по отдельному правилу. Разрядность всегда .

Умножение дополнительного кода числа в системе счисления с основанием .

Рассмотрим особенности умножения дополнительного кода числа в системе счисления с основанием на цифры с количественным эквивалентом больше 1 или меньше (–1).

Результаты умножения на 0, 1 или равны 0, или соответственно. В этих случаях расширять частное произведение влево до требуемой разрядности цифрами 0 или обратными нулю в зависимости от знака произведения можно после умножения на цифру множителя, что и делают, умножая в двоичной системе счисления в примере 4-32. Умножение на цифры большие 1 или меньше (–1), например на 3 или на (–3) требует предварительного расширения множимого влево, в явной или неявной форме, цифрами 0 или обратной нулю в зависимости от знака частного произведения. Например, умножая в десятичной системе счисления на 2, и расширяя дополнительный код отрицательного произведения влево до 6 разрядов цифрой 9, получим ошибочный результат 1| 999002_доп (–998) вместо правильного 1| 998002_доп (–1998). Почему возникла ошибка?

Результат умножения на положительную цифру является результатом a-кратного сложения множимого с самим собой, а результат умножения на отрицательную цифру равен результату a-кратного вычитания множимого из нуля. Если множимое представлено в дополнительном коде, то сложение/вычитание должны выполняться по правилам справедливым в этом коде. Поскольку результат a-кратного сложения или вычитания из нуля операнда с значащими разрядами имеет разряд ( ), то операнд следует расширить не менее чем на один разряд влево цифрой 0 или обратной нулю в зависимости от его знака.

Например, для получения результата умножения кода 1|001_доп (-999) на 2 или на (–2) следует расширить значащие разряды множимого до 4 разрядов (1|9001) и сложить их сами с собой или дважды вычесть из нуля,

Результат умножения

на 2 на (–2)

9001 0000

+ 9001 – 9001

8002_доп – 9001

1998_доп

отбрасывая перенос/заем из старшего разряда:

Из сказанного следует. При , для получения дополнительного кода произведения значащих разрядов на цифру множителя, пользуясь таблицей умножения, необходимо расширить множимое влево одной цифрой, так как результат умножения имеет длину . Поскольку произведение является результатом a-кратного сложения множимого по правилам сложения дополнительных кодов, то при умножении следует цифру переноса из разряда отбросить. Полученное по этому правилу произведение можно расширить влево до любого необходимого количества разрядов, приписывая 0 или цифру обратную нулю в зависимости от его знака.

A B C D E F

X_доп: 1|9005 (-995) 1|9449 (-551) 1|9999 (-1) 1|9000 (-1000) 0|0999 0|0099

4 6 9 9 9 4

36020 (-3980) 56694 (-3306) 89991 (-9) 81000 (-9000) 08991 00396

996020 996694 999991 991000 008991 000396

Пример 4-33. Выполняется умножение в десятичной системе счисления с значащими разрядами на цифру множителя с применением таблицы умножения и расширением произведения до 6 значащих разрядов. Разрядность множимого предварительно расширена одной цифрой слева. Перенос, из старшего разряда, зачеркнут. Остальные цифры, расширяющие произведение, приписаны к произведению. Все расширяющие цифры показаны жирным шрифтом.

В вариантах A-D результат умножения множителя на цифру 9, приписанную к множимому, двухразрядный, причем старший разряд отброшен (зачеркнут). Если бы множимое было расширено сразу тремя 9, то пришлось бы умножать 6-, а не 4-разрядный код, причем произведение получилось бы тем же.

В вариантах E и F множимое положительное и поэтому расширяющие цифры равны 0.

Дополнительную цифру в множимом можно задать по умолчанию и судить о ней по знаку множимого.

Обратите внимание на то, что старшая приписанная цифра в произведении определяет его знак (0 – (+); 9 – (–)).

Пример 4-34. Перемножаются десятичные дополнительные коды операндов с количеством значащих разрядов .

Слева от строк матрицы показан знак выполняемой операции сложения (+) или вычитания (–). Строки матрицы расширены влево до разрядов. Цифра, расширяющая множимое на разряд влево, задана по умолчанию. При вычислении частного произведения умножение множимого на эту цифру выполняется с отбрасыванием цифры переноса. К полученному результату приписываются цифры расширяющие частные

A B C D E

X: 1|000 _д (-10³) 1|001 _д (-999) 1|001_д (-999) 0|999_д (+999) 0|999_д

Y: 1|000 _д (-103) 0|999 _д 1|692 _д (-308) 1|902 _д (-98) 1|902 _д

9000 9001 9001 0999 0999

1000 0999 308 098 098

– 00000000 +99991009 – 992008 – 007992 – 007992

– 0000000 +9991009 – 00000 – 08991 – 08991

– 000000 +991009 – 7003 – 0000 – 0000

– 99000 +00000 0|0307692_д 1|9902098_д 1|902098_д

0|1000000_д (+106) 9|9001999_д – 0097902 – 097902

– 0998001

произведения и показанные жирным шрифтом.

В вариантах A и B код 1|000_доп применяется для кодирования числа . Разрядность произведения, включая знак, Предварительная проверка операндов на 0 и на 1|000 не выполняется. Все разряды дополнительного кода произведения, включая разряд знака, вычисляются в процессе умножения множимого на .

В вариантах C и D код 1|000_доп применяется для кодирования числа . Знак, дополнительный разряд произведения и его код при операндах равных 0 или 1|000_доп вычисляются по отдельным правилам, что исключает два левых столбца и четвертую нижнюю строку в матрице, поскольку не может иметь 4 разряда.

В варианте E код 1|000 не применяется для кодирования числа . Знак произведения вычисляется по отдельному правилу. Дополнительный значащий разряд в произведении отсутствует. Код имеет всегда разряда, а произведение разрядов, включая знак. Сравните варианты D и E.

В вариантах A и B знак частного произведения и результата представлен цифрами 0 и 9. В вариантах C, D и E разряд знака в частных произведениях отсутствует.

При выполнении вычислений в двоично-десятичной системе счисления по правилам вариантов A и B для кодирования знака потребуется 4 двоичных разряда. Чтобы сократить количество двоичных разрядов можно знак в частных произведениях кодировать цифрами 0 и 1 и выполнять сложение/вычитание в колонке знака по правилам сложения/вычитания двоичных цифр с учетом переноса/займа из предыдущего разряда. Тогда знак в произведении будет представлен цифрами 0 и 1. Аналогично можно поступить при выполнении операции в других двоично-кодированных системах счисления.

Вычисление модуля отрицательного множителя Y усложняет выполнение операции. Можно вместо умножения множимого X на отрицательного множителя выполнить умножение X на . Вычисление достигается простой заменой в отрицательном множителе значащих цифр обратными. Чтобы исключить возникающую ошибку достаточно в матрицу частных произведений ввести строку поправки, содержащую код множимого.

Пример 4-35. Перемножаются десятичные дополнительные коды операндов с количеством значащих разрядов .

В вариантах A-D код 1|000_доп применяется для кодирования числа . Разрядность произведения, включая знак, Предварительная проверка операндов на 0 и на 1|000 не выполняется. Все разряды дополнительного кода произведения, включая разряд знака, вычисляются в процессе умножения множимого на .

Верхняя строка в матрице частных произведений содержит поправку.

Код имеет на 1 разряд меньше чем код , что сокращает количество частных произведений. Поэтому суммарное количество строк в матрице остается таким как при умножении на (варианты A, B примера 4-34).

A B C D E

X: 1|523 _д (-477) 0|477 _д 1|000 _д (-1000) 0|999 _д (+999) 0|999 _д

Y: 1|422 _д (-578) 1|422 _д 1|000 _д 1|000 _д (-1000) 0|902 _д

9523 0477 9000 0999 0999

577 577 999 999 902

– 19999523 – 00000477 – 19999000 – 000999 + 000000

– 19996661 – 00003339 – 19991000 – 008991 + 001998

– 1996661 – 0003339 – 1991000 – 08991 + 00000

– 197615 – 002385 – 191000 – 8991 + 8991

0|0275706 _д 1|9724294 _д 0|1000000 _д 1|9001000 _д 0|901098 _д

– 275706 – 999000

В вариантах A-C знак в колонке разрядов знака кодируется цифрами 0 и 1. Знак произведения вычисляется сложением по модулю 2 переносов/займов и цифр в колонке знака.

В варианте D знак произведения и дополнительный значащий разряд вычисляются по отдельным правилам, что позволяет сократить два левых столбца в матрице.

В варианте E код 1|000 не применяется для кодирования числа . Знак произведения вычислен по отдельному правилу. Дополнительный значащий разряд отсутствует.

При умножении на в двоичной системе счисления существует возможность совмещать строки поправки и частного произведения на младший разряд подобно тому, как это делалось в примере 4-31 раздела 4.4.2.1. Это позволяет уменьшить на 1 количество строк в матрице.